2013-大纲卷文-03 单-向量垂直

本题导读

本题考查向量垂直的充要条件，以及向量的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知向量 $\vec{m}=(\lambda +1,1)$，$\vec{n}=(\lambda +2,2)$，若 $(\vec{m}+\vec{n})\perp (\vec{m}-\vec{n})$，则 $\lambda =$()

A. $-4$　　　　　　　B. $-3$　　　　　　　C. $-2$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

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1. $(\vec{m}+\vec{n})\cdot (\vec{m}-\vec{n})=|\vec{m}{|}^2-|\vec{n}{|}^2=0$。
2. 代入坐标：$(\lambda +1{)}^2+1=(\lambda +2{)}^2+4$。
3. 展开解出 $\lambda$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由垂直条件， $(\vec{m}+\vec{n})\cdot (\vec{m}-\vec{n})=|\vec{m}{|}^2-|\vec{n}{|}^2=0,$ 即 $|\vec{m}|=|\vec{n}|$。代入坐标： $(\lambda +1{)}^2+1=(\lambda +2{)}^2+4,$ 展开： ${\lambda }^2+2\lambda +2={\lambda }^2+4\lambda +8,$ 两边消去 ${\lambda }^2$： $2\lambda +2=4\lambda +8⟹-2\lambda =6⟹\lambda =-3.$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的充要条件

核心方法：$(\vec{m}+\vec{n})\perp (\vec{m}-\vec{n})⟺|\vec{m}|=|\vec{n}|$，把模相等写成坐标方程

避坑指南：“和向量垂直于差向量”等价于”两向量模相等”，这一步能省大量计算；列方程时 $(\lambda +1{)}^2+1=(\lambda +2{)}^2+4$ 两边平方项展开后一次项系数别算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积与垂直（全国卷常考）。

结论推广：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$；$(\vec{m}+\vec{n})\cdot (\vec{m}-\vec{n})=|\vec{m}{|}^2-|\vec{n}{|}^2$。

方法推广：含参数的垂直问题：先把垂直条件化为数量积为零，能用”平方差”结构就先化简，再代入坐标解方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-06 单-向量数量积
• 2013年大纲版理-3