2013-福建卷文-14 填-几何概型随机数

本题导读

本题考查几何概型，以及均匀随机数。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 利用计算机产生 $0\sim 1$ 之间的均匀随机数 $a$，则事件"$3a-1<0$"发生的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $3a-1<0\iff a<\frac{1}{3}$。
2. $a$ 均匀分布于长度 $1$ 的区间，有利区间 $\left[0,\frac{1}{3}\right)$ 长 $\frac{1}{3}$。
3. $P=\frac{1}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $3a-1<0$ 解得 $a<\frac{1}{3}$。 均匀随机数 $a$ 在 $[0,1)$ 上均匀分布，取值落在某区间内的概率与区间长度成正比，全部区间长度为 $1$，有利区间 $\left[0,\frac{1}{3}\right)$ 的长度为 $\frac{1}{3}$。 故所求概率 $P=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均匀随机数与几何概型

核心方法：$a$ 均匀分布于 $[0,1)$，$P(3a-1<0)=P\left(a<\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$

避坑指南：均匀随机数落在等长区间内的概率等于长度之比——区间 $[0,1)$ 长度为 $1$，所求即 $\left[0,\frac{1}{3}\right)$ 的长度；把"$a\sim 0\sim 1$"误解成整数就会按古典概型去数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何概型（长度型）与随机模拟（福建卷统计概率填空）。

结论推广：$P=\frac{构成事件的区域长度}{全部区域长度}$；$[0,1)$ 上均匀分布。

方法推广：解不等式定有利区间 → 区间长度相除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-05 单-几何概型
• 2014-福建卷文-13 填-几何概型
• 2014-辽宁卷文-06 单-几何概型