2013-福建卷理-08 单-函数的极值与最值

本题导读

本题考查导数的应用，以及函数的极值与最值。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$x_0(x_0\ne 0)$ 是 $f(x)$ 的极大值点，以下结论一定正确的是()

A. $\forall x\in \mathbb{R},f(x)\le f(x_0)$　　　　　　　　B. $-x_0$ 是 $f(-x)$ 的极小值点

C. $-x_0$ 是 $-f(x)$ 的极小值点　　　　D. $-x_0$ 是 $-f(-x)$ 的极小值点

🔍【思路分析】

破题导航

1. 区分极值与最值：极大值是在该点附近的局部范围内的最大值，不代表在整个定义域内最大。由此判定选项 A。

2. 图象变换理论：

   • $y=f(-x)$：原图象关于 $y$ 轴对称。

   • $y=-f(x)$：原图象关于 $x$ 轴对称。

   • $y=-f(-x)$：原图象关于原点对称。

3. 极值性质的演变：

   • 若图象关于 $y$ 轴对称，波峰（极大值）依然是波峰，但横坐标变号。

   • 若图象关于 $x$ 轴对称，波峰（极大值）变为波谷（极小值），横坐标不变。

   • 若图象关于原点中心对称，波峰（极大值）在对称位置会变为波谷（极小值），且横坐标变号。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：排除选项 A

极值是局部概念，最值是全局概念。极大值点 $x_0$ 只能保证在 $x_0$ 的某个邻域内 $f(x)\le f(x_0)$，不能保证在全集 $\mathbb{R}$ 上成立。故 A 错误。

第二步：分析选项 B

函数 $g(x)=f(-x)$ 的图象是将 $f(x)$ 关于 $y$ 轴对称。

原极大值点 $(x_0,f(x_0))$ 变换后对应点为 $(-x_0,f(x_0))$。

由于只是水平镜像，波峰形状不变，因此 $-x_0$ 仍是 $f(-x)$ 的极大值点。故 B 错误。

第三步：分析选项 C

函数 $h(x)=-f(x)$ 的图象是将 $f(x)$ 关于 $x$ 轴对称。

原极大值点 $(x_0,f(x_0))$ 变换后对应点为 $(x_0,-f(x_0))$。

由于上下颠倒，原来的“山峰”变成了“山谷”，所以 $x_0$ 是 $-f(x)$ 的极小值点。但选项中给出的横坐标是 $-x_0$，位置不对。故 C 错误。

第四步：分析选项 D

函数 $w(x)=-f(-x)$ 的图象是将 $f(x)$ 关于原点对称（先关于 $y$ 轴对称，再关于 $x$ 轴对称）。

1. 关于 $y$ 轴对称：点 $(x_0,f(x_0))$ 变为 $(-x_0,f(x_0))$，仍为极大值点。

2. 再关于 $x$ 轴对称：点 $(-x_0,f(x_0))$ 变为 $(-x_0,-f(x_0))$，极大值点变为极小值点。

   因此，$-x_0$ 一定是 $-f(-x)$ 的极小值点。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象变换中“点”与“性质”的随动规律。

核心方法：“几何直观法”。脑中构建一个带波峰的简易函数图象（如 $y=-x^2+1$），进行翻折操作，结论立现。

避坑指南：容易混淆极值点（横坐标 $x$）和极值（纵坐标 $y$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数符号与极值的关系（左增右减为极大，左减右增为极小）。

结论推广：- 关于 $y$ 轴对称：极值性质不变，极值点变号。 - 关于 $x$ 轴对称：极值性质互换，极值点不变。 - 关于原点对称：极值性质互换，极值点变号。

方法推广：“几何直观法”。脑中构建一个带波峰的简易函数图象（如 $y=-x^2+1$），进行翻折操作，结论立现。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-10 多-奇函数与极值
• 2025-上海卷-19 解-导数极值
• 2023-新高考II卷-11 多-导数极值