2013-辽宁卷文-06 单-射影定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，若 $a\sin B\cos C+c\sin B\cos A=\frac{1}{2}b$，且 $a>b$，则 $\angle B=$()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin B(a\cos C+c\cos A)=\frac{1}{2}b$；$a\cos C+c\cos A=b$ → $\sin B=\frac{1}{2}$。
2. $B=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$；$a>b$ → $A>B$ → $B$ 非最大角 → $B=\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理将边化为角（或直接在原式提公因式）： $\sin B(a\cos C+c\cos A)=\frac{1}{2}b.$ 由射影定理 $a\cos C+c\cos A=b$，代入得 $b\sin B=\frac{1}{2}b\Rightarrow \sin B=\frac{1}{2}.$ 故 $B=\frac{\pi }{6}$ 或 $B=\frac{5\pi }{6}$。 由 $a>b$ 得 $A>B$，即 $B$ 不是最大角，故 $B$ 必为锐角，舍去 $\frac{5\pi }{6}$。 所以 $B=\frac{\pi }{6}$。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：射影定理与正弦定理（边角互化）

核心方法：$\sin B(a\cos C+c\cos A)=\frac{1}{2}b$，而 $a\cos C+c\cos A=b$ → $\sin B=\frac{1}{2}$；又 $a>b\Rightarrow B$ 非最大角 → $B=\frac{\pi }{6}$

避坑指南：$a\cos C+c\cos A=b$ 是射影定理，认出来一步代换；$\sin B=\frac{1}{2}$ 有两解 $\frac{\pi }{6}$、$\frac{5\pi }{6}$，用 $a>b$（即 $A>B$，$B$ 不是最大角）舍钝角——漏掉这步取舍就会错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形（射影定理 + 边角互化 + 角的取舍）。

结论推广：边化角；射影定理；大边对大角。

方法推广：提 $\sin B$ → 射影定理代换 → 解 $\sin B$ → 用 $a>b$ 定锐角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-18 解-解三角形求角
• 2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角
• 2013-江西卷文-17 解-解三角形等差