2013-辽宁卷文-07 单-奇函数对数求值

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及对数的运算。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)=\ln \left(\sqrt{1+9x^2}-3x\right)+1$，则 $f(\lg 2)+f\left(\lg \frac{1}{2}\right)=$()

A. $-1$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\lg \frac{1}{2}=-\lg 2$。
2. $g(x)=f(x)-1$ 满足 $g(x)+g(-x)=\ln (1+9x^2-9x^2)=0$。
3. 原式 $=0+2=2$。

✅【答案】

点击查看答案

（D）

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(x)=\ln \left(\sqrt{1+9x^2}-3x\right)$（即 $f(x)=g(x)+1$）。 $g(x)+g(-x)=\ln \left(\sqrt{1+9x^2}-3x\right)+\ln \left(\sqrt{1+9x^2}+3x\right)$ $=\ln \left[{\left(\sqrt{1+9x^2}\right)}^2-(3x{)}^2\right]=\ln \left(1+9x^2-9x^2\right)=\ln 1=0,$ 故 $g(x)$ 是奇函数。 由 $\lg \frac{1}{2}=-\lg 2$： $f(\lg 2)+f\left(\lg \frac{1}{2}\right)=\left[g(\lg 2)+1\right]+\left[g(-\lg 2)+1\right]=0+2=2.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型函数的奇偶性求值

核心方法：令 $g(x)=f(x)-1=\ln (\sqrt{1+9x^2}-3x)$，则 $g(x)g(-x)$ 的真数之积 $=1+9x^2-9x^2=1$ → $g(x)+g(-x)=0$；$\lg \frac{1}{2}=-\lg 2$ → 原式 $=2$

避坑指南：$\ln$ 里 $(\sqrt{1+9x^2}-3x)(\sqrt{1+9x^2}+3x)=1$（平方差），凑出奇函数 $g$；所求是 $f(lg2)+f(lg\frac{1}{2})=g(lg2)+g(-lg2)+2=2$——若忘了 $f$ 比 $g$ 多出常数 1（两处共 +2），就会错选 B 或 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数奇偶性（对数型构造）与求值。

结论推广：构造奇函数；平方差化积。

方法推广：剥离常数得 $g$ → 验 $g(-x)=-g(x)$ → 自变量取相反数求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-03 单-奇函数求值
• 2014-广东卷文-05 单-奇函数
• 2014-安徽卷文-14 填-奇函数周期