2013-辽宁卷文-08 单-框图裂项求和

本题导读

本题考查程序框图，以及裂项相消法求和。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 执行如图所示的程序框图，若输入 $n=8$，则输出 $S=$()

A. $\frac{4}{9}$　　　　　　B. $\frac{6}{7}$　　　　　　C. $\frac{8}{9}$　　　　　　D. $\frac{10}{11}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}$。
2. 裂项：$\frac{1}{i^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i+1}\right)$。
3. $S=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{9}\right)=\frac{4}{9}$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

框图：$S=0$，$i=2$，当 $i⩽n$ 时执行 $S=S+\frac{1}{i^2-1}$，$i=i+2$。 $n=8$ 时 $i$ 依次取 $2,4,6,8$： $S=\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\frac{1}{8^2-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}.$ 由 $\frac{1}{i^2-1}=\frac{1}{(i-1)(i+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i+1}\right)$： $S=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{9}\right)=\frac{4}{9}.$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图 + 裂项求和

核心方法：$S=\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\frac{1}{8^2-1}=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)\right]=\frac{4}{9}$

避坑指南：$\frac{1}{i^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i+1}\right)$ 且步长为 2——裂开的项恰好逐个相消，只剩首 $\frac{1}{1}$ 尾 $-\frac{1}{9}$；框图里 $i$ 从 2 起每次加 2，判 $i⩽n$ 后还要再自增，模拟时别多算或漏算一轮。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：程序框图（循环累加）与裂项相消求和。

结论推广：列表模拟；裂项相消。

方法推广：识别循环体累加项 → 裂项 → 首尾相消。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-06 单-程序框图
• 2013-安徽卷文-03 单-程序框图
• 2013-山东卷文-06 单-程序框图