2013-辽宁卷文-24 解-不等式选讲

本题导读

本题考查不等式选讲。核心在于零点分段法、分类讨论的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)=|x-a|$，其中 $a>1$.

(1)当 $a=2$ 时，求不等式 $f(x)⩾4-|x-4|$ 的解集；

(2)已知关于 $x$ 的不等式 $|f(2x+a)-2f(x)|⩽2$ 的解集为 $\{x\mid 1⩽x⩽2\}$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ 解集 $(-\infty ,1]\cup [5,+\infty )$。
2. $(2)$ 化简：$2\left||x|-|x-a|\right|⩽2$；$x⩾a$ 时不等式不成立（值为 $a>1$）；$1⩽x<a$ 时 $|2x-a|⩽1$ → $\frac{a-1}{2}⩽x⩽\frac{a+1}{2}$。
3. 解集 $[1,2]$：$\frac{a-1}{2}=1$ 且 $\frac{a+1}{2}=2$ → $a=3$。

✅【答案】

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(1)$(-\infty ,1]\cup [5,+\infty )$；(2)$a=3$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $a=2$：$|x-2|⩾4-|x-4|$。 ① $x<2$：$2-x⩾4-(4-x)=x\Rightarrow x⩽1$，故 $x⩽1$； ② $2⩽x<4$：$x-2⩾4-(4-x)=x$，无解； ③ $x⩾4$：$x-2⩾4-(x-4)=8-x\Rightarrow 2x⩾10\Rightarrow x⩾5$。 解集为 $(-\infty ,1]\cup [5,+\infty )$。 （2） $f(2x+a)=|2x+a-a|=2|x|$，$2f(x)=2|x-a|$，原不等式化为 $2\left||x|-|x-a|\right|⩽2\text{即}\left||x|-|x-a|\right|⩽1.$① $x<0$：$|x|=-x$，$|x-a|=a-x$（$a>1>0>x$），差为 $-a$，绝对值 $a>1$，不成立。 ② $0⩽x<a$：$|x|=x$，$|x-a|=a-x$，差为 $2x-a$，条件 $|2x-a|⩽1$，即 $\frac{a-1}{2}⩽x⩽\frac{a+1}{2}.$③ $x⩾a$：差为 $a>1$，不成立。 故解集为 $\left[\frac{a-1}{2},\frac{a+1}{2}\right]$（其中 $\frac{a-1}{2}<a$ 恒成立，$x⩾1$ 已含于该区间讨论）。 由解集恰为 $[1,2]$： $\frac{a-1}{2}=1\text{且}\frac{a+1}{2}=2\Rightarrow a=3.$ 验证 $a=3$：$|2x-a|=|2x-3|⩽1\Rightarrow 1⩽x⩽2$ ✓（且 $x<0$、$x⩾a$ 均被排除）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式（选修4-5）

核心方法：$(1)$ $|x-2|⩾4-|x-4|$：零点分段，解集 $(-\infty ,1]\cup [5,+\infty )$；$(2)$ $|f(2x+a)-2f(x)|=2\left||x|-|x-a|\right|⩽2$，$a>1$ 时解集为 $\left[\frac{a-1}{2},\frac{a+1}{2}\right]\cap [1,+\infty )$ 型 → 对照 $[1,2]$ 得 $a=3$

避坑指南：$(2)$ 先化简：$f(2x+a)=|2x+a-a|=2|x|$，$2f(x)=2|x-a|$，绝对值不等式里提出 $2$；$|x|$ 的符号要分 $x⩾0$ 与 $x<0$：$x<0$ 时 $\left||x|-|x-a|\right|=a>1$ 恒不满足，解只能在 $x⩾1$ 内——解集左端点对应 $(a-1)/2=1$、右端点对应 $(a+1)/2=2$，两式都要验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不等式选讲（绝对值不等式的解法与含参逆推）。

结论推广：零点分段；绝对值化简（提公因数）。

方法推广：$(1)$ 分段去绝对值；$(2)$ 化简后按 $|x|$ 符号分类，对照解集端点定 $a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2013-大纲卷文-04 单-绝对值不等式
• 2014-新课标II卷文-24 解-绝对值不等式