2013-辽宁卷理-12 单-构造辅助函数

本题导读

本题考查导数的应用，以及构造辅助函数。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 设函数 $f(x)$ 满足 $x^2{f}^{\prime }(x)+2xf(x)=\frac{e^x}{x}$，$f(2)=\frac{e^2}{8}$，则 $x>0$ 时，$f(x)$()

A. 有极大值，无极小值　　　　　　　　B. 有极小值，无极大值

C. 既有极大值又有极小值　　　　　　　D. 既无极大值也无极小值

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察结构构造函数：观察左边 $x^2{f}^{\prime }(x)+2xf(x)$，正好符合导数乘法公式 $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$。设 $g(x)=x^{2}f(x)$，则 $g^{\prime }(x)=x^2{f}^{\prime }(x)+2xf(x)=\frac{e^x}{x}$。
2. 判定极值条件：欲求 $f(x)$ 的极值，需判定 $f^{\prime }(x)$ 的正负。 由已知得 $x^2{f}^{\prime }(x)=\frac{e^x}{x}-2xf(x)=\frac{e^x-2x^{2}f(x)}{x}$。
3. 二次构造辅助函数：设 $h(x)=e^x-2x^{2}f(x)$，通过判定 $h(x)$ 的最值来确定 $x^2{f}^{\prime }(x)$ 的符号。
4. 利用已知条件：利用 $f(2)$ 的值确定 $h(x)$ 的临界状态，结合 $h^{\prime }(x)$ 判定单调性。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构造第一层辅助函数 设 $g(x)=x^{2}f(x)$，则由题意得 $g^{\prime }(x)=\frac{e^x}{x}$。

第二步：表示原函数导数并构造第二层辅助函数 由原式整理得： $x^2{f}^{\prime }(x)=\frac{e^x}{x}-2xf(x)=\frac{e^x-2x^{2}f(x)}{x}$ 令 $h(x)=e^x-2x^{2}f(x)=e^x-2g(x)$。 求 $h(x)$ 的导数： $h^{\prime }(x)=e^x-2g^{\prime }(x)=e^x-2\cdot \frac{e^x}{x}=e^x\left(1-\frac{2}{x}\right)=\frac{(x-2)e^x}{x}$

第三步：判定 $h(x)$ 的单调性与值域 在 $x>0$ 的条件下：

• 当 $0<x<2$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减；
• 当 $x>2$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。 所以 $h(x)$ 在 $x=2$ 处取得最小值。 计算最小值：$h(2)=e^2-2\cdot 2^2\cdot f(2)=e^2-8\cdot \frac{e^2}{8}=0$。 因此，对于任意 $x>0$，都有 $h(x)\ge h(2)=0$。

第四步：确定 $f(x)$ 的极值情况 因为 $x^2{f}^{\prime }(x)=\frac{h(x)}{x}$，且 $h(x)\ge 0,x>0$， 所以 $f^{\prime }(x)=\frac{h(x)}{x^3}\ge 0$ 恒成立。 由于 $f^{\prime }(x)\ge 0$，说明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 单调函数在其定义域内既无极大值也无极小值。

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助函数的构造是解决此类导数方程/不等式问题的“杀手锏”。

核心方法：“结构对等法”。看到 $f^{\prime }+f$ 考虑 $e^{x}f$，看到 $x{f}^{\prime }+f$ 考虑 $xf$，看到 $x^2{f}^{\prime }+2xf$ 考虑 $x^{2}f$。

避坑指南：不要尝试解出 $f(x)$ 的具体解析式（涉及不可积函数 $\frac{e^x}{x}$），重点应放在判定导数符号的变化趋势上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：变限积分求导、一阶线性微分方程的构造。

结论推广：若 $f^{\prime }(x)\cdot \text{poly}(x)\ge 0$，则 $f(x)$ 无极值。

方法推广：面对 $f(x)$ 与 $f^{\prime }(x)$ 的混合式，优先考虑能否写成某个复合函数求导后的样子。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数
• 2015-山东卷文-08 单-奇函数
• 2015-上海卷文-04 填-反函数