2013-辽宁卷理-20 解-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线。核心在于导数法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 如图，抛物线 $C_1:x^2=4y$，$C_2:x^2=-2py$ ($p>0$).点 $M(x_0,y_0)$ 在抛物线 $C_2$ 上，过 $M$ 作 $C_1$ 的切线，切点为 $A,B$（$M$ 为原点 $O$ 时，$A,B$ 重合于 $O$）.当 $x_0=1-\sqrt{2}$ 时，切线 $MA$ 的斜率为 $-\frac{1}{2}$.

（I）求 $p$ 的值；

（II）当 $M$ 在 $C_2$ 上运动时，求线段 $AB$ 中点 $N$ 的轨迹方程（$A,B$ 重合于 $O$ 时，中点为 $O$）.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求 $p$）：
   • 将抛物线 $C_1$ 转化为函数 $y=\frac{1}{4}{x}^2$，求导得 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$。
   • 根据已知斜率 $k=-\frac{1}{2}$ 求出切点 $A$ 的横坐标，进而得到 $A$ 点坐标。
   • 写出切线 $MA$ 的方程，将点 $M$ 的横坐标代入求出 $y_0$。
   • 将 $M(x_0,y_0)$ 代入 $C_2$ 的方程解出 $p$。
2. 第二问（求轨迹）：
   • 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，根据切线理论，点 $M$ 实际上是切点 $A,B$ 处切线的交点。
   • 利用导数写出 $A,B$ 处的切线方程，联立求得交点 $M$ 的坐标关于 $x_1,x_2$ 的表达式。
   • 设中点 $N(x,y)$，由中点坐标公式建立 $x,y$ 与 $x_1,x_2$ 的关系。
   • 利用 $M$ 在 $C_2$ 上这一条件，通过整体代入法消去参数 $x_1,x_2$，得到 $x$ 与 $y$ 的关系式。

✅【答案】

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即 $y_0=\frac{x^2}{2}-y$

✍【详细解析】

Abstract

（I）解： 由 $x^2=4y$ 可得 $y=\frac{1}{4}{x}^2$，求导得 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$。 设切点 $A$ 的横坐标为 $x_A$，则 $k_{MA}=\frac{x_A}{2}=-\frac{1}{2}$，解得 $x_A=-1$。 代入 $x^2=4y$ 得 $y_A=\frac{1}{4}$，即 $A(-1,\frac{1}{4})$。 切线 $MA$ 的方程为：$y-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}(x+1)$，即 $y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$。 又点 $M(1-\sqrt{2},y_0)$ 在切线上，代入得： $y_0=-\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2\sqrt{2}-3}{4}$。 因为点 $M$ 在 $x^2=-2py$ 上，代入得： $(1-\sqrt{2}{)}^2=-2p\cdot \frac{2\sqrt{2}-3}{4}$ $3-2\sqrt{2}=-\frac{p(2\sqrt{2}-3)}{2}$ $3-2\sqrt{2}=\frac{p(3-2\sqrt{2})}{2}$ 解得 $p=2$。

（II）解： 设 $A(x_1,\frac{x_1^2}{4}),B(x_2,\frac{x_2^2}{4})$，$N(x,y)$ 为 $AB$ 中点。 由中点公式得：$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y=\frac{x_1^2+x_2^2}{8}$。 由（I）可知，抛物线 $C_1$ 上任意一点 $(x_i,y_i)$ 处的切线方程为 $y=\frac{x_i}{2}(x-x_i)+\frac{x_i^2}{4}$，即 $y=\frac{x_i}{2}x-\frac{x_i^2}{4}$。 联立 $A,B$ 两点处的切线： $\{\begin{array}{l}y=\frac{x_1}{2}x-\frac{x_1^2}{4}\\ y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}\end{array}$ 解得切线交点 $M(x_0,y_0)$ 坐标为：$x_0=\frac{x_1+x_2}{2},y_0=\frac{x_1{x}_2}{4}$。 观察可知 $x=x_0$。 又 $y=\frac{x_1^2+x_2^2}{8}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{8}=\frac{(2x_0{)}^2-8y_0}{8}=\frac{x_0^2}{2}-y_0$。 即 $y_0=\frac{x^2}{2}-y$。 由（I）知 $p=2$，故 $M$ 在 $x_0^2=-4y_0$ 上，代入得： $x^2=-4(\frac{x^2}{2}-y)$ $x^2=-2x^2+4y⟹3x^2=4y$ 整理得线段 $AB$ 中点 $N$ 的轨迹方程为：$x^2=\frac{4}{3}y$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线切线方程的推导（切点弦结论的逆用）；中点轨迹问题的代入消参。

核心方法：对于圆锥曲线的切线问题，利用导数工具求斜率是最快捷的方法。

避坑指南：在第二问中，要注意建立 $M,N$ 两点坐标之间的转换关系。$x_0$ 与 $x$ 是相等的，而 $y_0$ 与 $y$ 的关系需要利用完全平方公式进行转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：阿基米德三角形性质（抛物线切线交点与中点的连线垂直于准线等）。

结论推广：对于抛物线 $x^2=2py$，过点 $(x_0,y_0)$ 的切点弦 $AB$ 方程为 $x_{0}x=p(y+y_0)$。

方法推广：轨迹问题中，如果动点随另一个动点（相关点）运动，通常设出两个动点坐标，寻找坐标间的映射关系，代入已知曲线方程即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线