2014-四川卷理-10 单-抛物线方程

本题导读

本题是解析几何与不等式的综合压轴题。考查了抛物线背景下，利用向量数量积确定动点坐标关系，并构造关于三角形面积之和的函数，最终通过基本不等式求解最小值。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 已知 $F$ 是抛物线 $y^2=x$ 的焦点，点 $A,B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $△ABO$ 与 $△AFO$ 面积之和的最小值为 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. $\frac{17\sqrt{2}}{8}$　　　　　　　D. $\sqrt{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标化表达：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。由于在抛物线上，可得 $x_1=y_1^2,x_2=y_2^2$。
2. 利用已知关系：根据 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$ 列出关于 $y_1,y_2$ 的代数式。
3. 判定纵坐标关系：结合点分布在 $x$ 轴两侧（即 $y_1{y}_2<0$），确定 $y_1$ 与 $y_2$ 的具体数值关系。
4. 构造面积函数：
   • 利用行列式面积公式或底高法表示 $S_{△ABO}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。
   • 表示 $S_{△AFO}=\frac{1}{2}|OF|\cdot |y_1|$。
5. 求最值：将面积和转化为关于单变量 $|y_1|$ 的函数，利用基本不等式求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用向量关系确定坐标 设 $A(y_1^2,y_1),B(y_2^2,y_2)$。已知 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$： $y_1^2{y}_2^2+y_1{y}_2=2$ 令 $t=y_1{y}_2$，则 $t^2+t-2=0⟹(t+2)(t-1)=0$。 因为 $A,B$ 位于 $x$ 轴两侧，所以 $y_1{y}_2<0$，故 $y_1{y}_2=-2$。

第二步：表示三角形面积

1. $△ABO$ 的面积： $S_1=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=\frac{1}{2}|y_1^2{y}_2-y_2^2{y}_1|=\frac{1}{2}|y_1{y}_2(y_1-y_2)|$ 代入 $y_1{y}_2=-2$： $S_1=\frac{1}{2}|-2(y_1-y_2)|=|y_1-y_2|$ 由于 $y_1,y_2$ 异号，不妨设 $y_1>0,y_2<0$，则 $y_2=-2/y_1$，故 $S_1=y_1+\frac{2}{y_1}$。
2. $△AFO$ 的面积： 焦点 $F(\frac{1}{4},0)$，则底边 $OF=\frac{1}{4}$，高为 $|y_1|$： $S_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot |y_1|=\frac{1}{8}{y}_1$

第三步：求面积之和的最小值 设面积之和为 $S$： $S=S_1+S_2=y_1+\frac{2}{y_1}+\frac{1}{8}{y}_1=\frac{9}{8}{y}_1+\frac{2}{y_1}$ 因为 $y_1>0$，应用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$： $S=\frac{9}{8}{y}_1+\frac{2}{y_1}\ge 2\sqrt{\frac{9}{8}{y}_1\cdot \frac{2}{y_1}}=2\sqrt{\frac{18}{8}}=2\sqrt{\frac{9}{4}}=2\cdot \frac{3}{2}=3$ 当且仅当 $\frac{9}{8}{y}_1=\frac{2}{y_1}⟹y_1^2=\frac{16}{9}⟹y_1=\frac{4}{3}$ 时，等号成立。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析几何中的“设而不求”与目标函数构造。

2. 核心方法：将几何图形的面积特征转化为纯代数的不等式问题。

3. 避坑指南：在计算 $S_{△ABO}$ 时，注意坐标公式 $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ 的符号处理，以及 $y_1,y_2$ 的乘积关系对化简的贡献。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线的切线性质、阿基米德三角形面积。

2. 结论推广: 若 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=m$，则纵坐标之积为定值（针对开口向右的抛物线）。

3. 方法推广: 涉及三角形面积和的最值，通常考虑将所有变量统一为一个参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-20 解-抛物线方程
• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程
• 2013-北京卷理-07 单-抛物线方程