2013-辽宁卷理-23 解-极坐标化直角坐标

本题导读

本题考查坐标系与参数方程。核心在于坐标转化法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） （选修 4-4）在直角坐标系 $xOy$ 中以 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 $C_1$，直线 $C_2$ 的极坐标方程分别为 $\rho =4\sin \theta$，$\rho \cos (\theta -\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}$. （I）求 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的极坐标； （II）设 $P$ 为 $C_1$ 的圆心，$Q$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 交点连线的中点.已知直线 $PQ$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t^3+a\\ y=\frac{b}{2}{t}^3+1\end{array}$ ($t\in R$ 为参数)，求 $a,b$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求交点）：
   • 利用 ${\rho }^2=x^2+y^2,\rho \cos \theta =x,\rho \sin \theta =y$ 将极坐标方程化为直角坐标方程。
   • 联立方程组求出交点的直角坐标，再转换回极坐标（注意范围）。
2. 第二问（求参数）：
   • 确定圆心 $P$ 和中点 $Q$ 的直角坐标，写出直线 $PQ$ 的普通方程。
   • 将直线 $PQ$ 的参数方程消去参数 $t^3$，得到其普通方程形式。
   • 利用对应项系数相等求出 $a,b$。

✅【答案】

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故 $a=-1,b=2$

✍【详细解析】

Abstract

（I）解： 圆 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho =4\sin \theta$，即 ${\rho }^2=4\rho \sin \theta$。 化为直角坐标方程：$x^2+y^2=4y$，即 $x^2+(y-2{)}^2=4$。 直线 $C_2$ 的方程为 $\rho (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta )=2\sqrt{2}$，即 $x+y=4$。 联立 $\{\begin{array}{l}{x}^2+(y-2{)}^2=4\\ x+y=4\end{array}$，解得 $\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ y_1=4\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}{x}_2=2\\ y_2=2\end{array}$。 转化为极坐标为 $(4,\frac{\pi }{2})$ 和 $(2\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$。

（II）解： 由 (I) 可得，圆心 $P(0,2)$，交点连线中点 $Q(1,3)$。 直线 $PQ$ 的斜率 $k=\frac{3-2}{1-0}=1$，普通方程为 $y-2=1(x-0)⟹x-y+2=0$。 已知参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t^3+a\\ y=\frac{b}{2}{t}^3+1\end{array}$，由第一式得 $t^3=x-a$，代入第二式： $y=\frac{b}{2}(x-a)+1⟹y=\frac{b}{2}x-\frac{ab}{2}+1$。 该直线即 $x-y+2=0$，其斜率为 $1$，纵截距为 $2$。 则 $\frac{b}{2}=1⟹b=2$。 $-\frac{a\cdot 2}{2}+1=2⟹-a+1=2⟹a=-1$。 故 $a=-1,b=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程与直角坐标方程互化的基本公式；直线参数方程的消参技巧。

核心方法：“先化直，后计算”。绝大多数极坐标题目在直角坐标系下处理更符合思维习惯，但最后结果若要求极坐标，务必记得转回。

避坑指南：参数方程中出现的 $t^3$ 只是参数的变形，消参时整体替换即可，不影响直线的线性特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标方程与直角坐标方程互化的基本公式；直线参数方程的消参技巧。

结论推广：见详细解析。

方法推广：“先化直，后计算”。绝大多数极坐标题目在直角坐标系下处理更符合思维习惯，但最后结果若要求极坐标，务必记得转回。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2015-湖南卷文-12 填-极坐标方程