2013-重庆卷理-07 单-圆的性质

本题导读

本题考查直线与圆，以及圆的性质。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 已知圆 $C_1:(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$，圆 $C_2:(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=9$，$M$、$N$ 分别是圆 $C_1$、$C_2$ 上的动点，$P$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|PM|+|PN|$ 的最小值为()

A. $5\sqrt{2}-4$　　　　　B. $\sqrt{17}-1$　　　　　C. $6-2\sqrt{2}$　　　　　D. $\sqrt{17}$

🔍【思路分析】

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1. 几何化归：

   • 点 $P$ 到圆上一点 $M$ 的距离 $|PM|$ 的最小值为 $|P{C}_1|-r_1$。

   • 同理，$|PN|$ 的最小值为 $|P{C}_2|-r_2$。

   • 因此，$(|PM|+|PN|{)}_{\min }=(|P{C}_1|+|P{C}_2|{)}_{\min }-(r_1+r_2)$。

2. 应用对称思想（将军饮马）：

   • 求 $x$ 轴上一点 $P$ 到两定点 $C_1(2,3)$ 和 $C_2(3,4)$ 距离之和的最小值。

   • 作 $C_1$ 关于 $x$ 轴的对称点 $C_1^{\prime }(2,-3)$。

   • 此时 $|P{C}_1|+|P{C}_2|=|P{C}_1^{\prime }|+|P{C}_2|$。

   • 根据“两点之间线段最短”，最小值即为线段 $|C_1^{\prime }{C}_2|$ 的长度。

3. 计算结果：计算出 $|C_1^{\prime }{C}_2|$ 后，减去两圆半径之和（$1+3=4$）即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定圆心与半径

• 圆 $C_1$：圆心 $C_1(2,3)$，半径 $r_1=1$。

• 圆 $C_2$：圆心 $C_2(3,4)$，半径 $r_2=3$。

第二步：轴对称变换

要使点 $P$ 在 $x$ 轴上且 $|P{C}_1|+|P{C}_2|$ 最小，取 $C_1(2,3)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $C_1^{\prime }(2,-3)$。

第三步：计算圆心间最短距离

连接 $C_1^{\prime }{C}_2$，根据两点间距离公式：

$|C_1^{\prime }{C}_2|=\sqrt{(2-3{)}^2+(-3-4{)}^2}$

$|C_1^{\prime }{C}_2|=\sqrt{(-1{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

此时，$(|P{C}_1|+|P{C}_2|{)}_{\min }=5\sqrt{2}$。

第四步：求最终最小值

由于 $M,N$ 在圆周上，由几何性质可知：

$|PM|\ge |P{C}_1|-r_1,|PN|\ge |P{C}_2|-r_2$

$|PM|+|PN|\ge (|P{C}_1|+|P{C}_2|)-(r_1+r_2)$

代入数值：

$(|PM|+|PN|{)}_{\min }=5\sqrt{2}-(1+3)=5\sqrt{2}-4$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“圆外点到圆上点的距离最值”。一定要记住先转化为点到圆心的距离。 2. 模型识别：涉及“直线上一动点到两定点距离之和最小”的问题，标准解法是对称变换。

避坑指南：容易直接求 $|C_1{C}_2|$（$\sqrt{2}$）而忽略了点 $P$ 必须在 $x$ 轴上折返的要求。对称点的坐标变换要准确（关于 $x$ 轴对称，纵坐标变号）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两点间距离公式、圆的几何性质。

结论推广：若求 $|PM|-|PN|$ 的最大值，则利用三角形两边之差小于第三边，且不需对称变换。

方法推广：涉及多个动点的最值，通过“剥离”固定量（如半径），将问题核心集中在可控变量（如圆心距）上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.05 对称性问题

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