2013-重庆卷理-12 填-等差数列通项与求和公式

本题导读

本题考查等差数列，以及等差数列的通项公式与求和公式。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$a_1=1$，公差 $d\ne 0$，$S_n$ 为其前 $n$ 项和.若 $a_1,a_2,a_5$ 成等比数列，则 $S_8=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 表示各项：根据等差数列通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，用 $a_1$ 和 $d$ 表示出 $a_2$ 和 $a_5$。
2. 建立等量关系：利用“$a_1,a_2,a_5$ 成等比数列”这一条件，应用等比中项性质 $a_2^2=a_1\cdot a_5$。
3. 求解公差：代入已知数据，解得公差 $d$（注意题目要求 $d\ne 0$）。
4. 计算总和：将 $a_1,d,n=8$ 代入等差数列求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 算出结果。

✅【答案】

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64

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出相关项的表达式 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，$a_1=1$。

• $a_2=a_1+d=1+d$
• $a_5=a_1+4d=1+4d$

第二步：利用等比中项性质建立方程 因为 $a_1,a_2,a_5$ 成等比数列， 所以 $a_2^2=a_1\cdot a_5$。 代入表达式： $(1+d{)}^2=1\cdot (1+4d)$

第三步：求解公差 $d$ 展开方程： $1+2d+d^2=1+4d$ $d^2-2d=0$ $d(d-2)=0$ 解得 $d=2$ 或 $d=0$。 由于题目明确指出 $d\ne 0$，故舍去 $d=0$，取 $d=2$。

第四步：计算前 8 项和 $S_8$ 代入等差数列求和公式： $S_8=8\times a_1+\frac{8\times (8-1)}{2}\times d$ $S_8=8\times 1+\frac{8\times 7}{2}\times 2$ $S_8=8+56=64$

故答案为：64。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与等比数列定义的交叉应用。

核心方法：“基本量法”。将所有条件都转化到 $a_1$ 和 $d$ 这两个核心参数上，是解决数列综合题的通用套路。

避坑指南：解方程时容易漏掉或忽视 $d\ne 0$ 的限制条件。如果 $d=0$，数列为常数数列，虽然也满足等比条件，但与题意不符。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列通项、数列的单调性。

结论推广：若 $a_k,a_m,a_n$ 成等比数列，则公差 $d$ 与首项 $a_1$ 的比例关系由下标 $k,m,n$ 唯一确定。

方法推广：涉及数列中“某几项成另一种数列”的问题，始终坚持“通项公式入场，中项公式建桥”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-07 单-等差数列通项
• 2024-新高考II卷-12 填-等差数列求和
• 2014-北京卷文-15 解-数列通项求和