2013-陕西卷文-09 单-三角形形状判断

本题导读

本题考查正弦定理，以及射影定理。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，若 $b\cos C+c\cos B=a\sin A$，则 $△ABC$ 的形状为()

A. 直角三角形　　B. 锐角三角形　　C. 钝角三角形　　D. 不确定

🔍【思路分析】

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1. 射影定理：$b\cos C+c\cos B=a$。
2. 代入条件：$a=a\sin A$，$a>0$ → $\sin A=1$。
3. $A=90^{\circ }$，直角三角形。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

由射影定理，对任意三角形都有 $b\cos C+c\cos B=a.$ 又已知 $b\cos C+c\cos B=a\sin A$，两式比较得 $a=a\sin A\Rightarrow \sin A=1,$ 因 $A\in (0,\pi )$，故 $A=\frac{\pi }{2}$，即 $△ABC$ 为直角三角形。 选 A。 （另一条路线：用正弦定理把 $b$，$c$ 换成 $\sin B$，$\sin C$，得 $\sin B\cos C+\sin C\cos B=\sin A\sin A$，即 $\sin (B+C)={\sin }^{2}A$，从而 $\sin A={\sin }^{2}A$，同样得 $\sin A=1$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与射影定理判定三角形形状

核心方法：$b\cos C+c\cos B=a\sin A$，而由射影定理 $b\cos C+c\cos B=a$ → $a=a\sin A$ → $\sin A=1$ → $A=90^{\circ }$

避坑指南：识别 $b\cos C+c\cos B$ 就是射影定理里的边 $a$：一步把条件化为 $a=a\sin A$；比”角化边”硬拆三边快得多。$a\ne 0$ 才可约，约去后立即得 $\sin A=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理、射影定理与三角形形状判定。

结论推广：射影定理；边角互化。

方法推广：认出射影结构 → 约去 $a$ → 由 $\sin A=1$ 定 $A$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-05 单-正弦定理
• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角
• 2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角