2013-陕西卷文-12 填-三视图表面积

本题导读

本题考查空间几何体的三视图，以及球的表面积。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 俯视图为圆、主视图与左视图均为半圆 → 半球。
2. 由图中尺寸 $r=1$。
3. $S=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi$。

✅【答案】

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$3\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知：俯视图是一个圆，而主视图、左视图都是半圆（半圆的直径对应俯视图圆的直径），故该几何体是半球。 由图中标注，半圆的半径为 $r=1$。 半球的表面积由曲面（球面的一半）与底面圆两部分组成： $S_{\text{曲面}}=\frac{1}{2}\times 4\pi r^2=2\pi r^2=2\pi ,S_{\text{底面}}=\pi r^2=\pi .$ 故 $S=2\pi +\pi =3\pi .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原与球的表面积

核心方法：俯视图为圆 $\Rightarrow$ 几何体是球体的一部分；主视图、左视图均为半径 $1$ 的半圆 → 半球，$r=1$：$S=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi$

避坑指南：由俯视图是圆、主视图是半圆判定半球，而不是圆柱；半球表面积 = 曲面 $2\pi r^2$ + 底面圆 $\pi r^2$，别漏底面（漏掉是 2π），也别按整球算（整球是 4π）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图还原与半球表面积。

结论推广：由三视图定几何体；曲面加底面。

方法推广：俯视圆 + 主视半圆 → 半球 → $2\pi r^2+\pi r^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-10 填-三视图体积
• 2013-山东卷文-04 单-三视图正四棱锥
• 2013-浙江卷文-05 单-三视图组合体