2013-陕西卷文-15 填-绝对值不等式解集

本题导读

本题考查绝对值三角不等式，以及含绝对值不等式的解集。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） （选修 4-5 不等式选讲）设 $a$，$b\in \mathbf{R}$，$|a-b|>2$，则关于实数 $x$ 的不等式 $|x-a|+|x-b|>2$ 的解集是 　　.

🔍【思路分析】

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1. 由三角不等式：$|x-a|+|x-b|⩾|a-b|>2$。
2. 对一切 $x\in \mathbf{R}$ 成立。
3. 解集为 $\mathbf{R}$。

✅【答案】

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$\mathbf{R}$

✍【详细解析】

Abstract

由绝对值三角不等式，对任意实数 $x$ 都有 $|x-a|+|x-b|⩾|(x-a)-(x-b)|=|a-b|.$ 已知 $|a-b|>2$，故对任意实数 $x$ 都有 $|x-a|+|x-b|⩾|a-b|>2,$ 即不等式的解集为全体实数，填 $\mathbf{R}$。 （几何解释：$|x-a|+|x-b|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $a$、点 $b$ 的距离之和，其最小值为 $a$、$b$ 两点间的距离 $|a-b|$。因 $|a-b|>2$，这个最小值已大于 $2$，所以数轴上所有点都满足不等式。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值三角不等式与解集

核心方法：由绝对值三角不等式 $|x-a|+|x-b|⩾|(x-a)-(x-b)|=|a-b|>2$ 对一切实数 $x$ 成立 → 解集为 $\mathbf{R}$

避坑指南：要点是发现左边有统一的下界 $|a-b|$（数轴上 $x$ 到 $a$、$b$ 两点距离之和，最小值就是两点间距）：$|a-b|>2$ 意味着”最小值都超过 $2$“，故所有 $x$ 都满足。不要急着用零点分段讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值三角不等式（几何意义：距离之和）。

结论推广：三角不等式 $|x-a|+|x-b|⩾|a-b|$；数轴距离之和。

方法推广：看作数轴距离之和 → 最小值 $|a-b|>2$ → 解集为全体实数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-04 单-绝对值不等式
• 2013-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-安徽卷文-09 单-绝对值最值