2013-陕西卷文-20 解-面面平行与柱体体积

本题导读

本题考查平面与平面平行的判定。核心在于判定定理、等面积转化的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 如图，四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，$O$ 为底面中心，$A_{1}O\perp$ 平面 $ABCD$，$AB=A{A}_1=\sqrt{2}$.

(1)证明：平面 $A_{1}BD\parallel$ 平面 $C{D}_1{B}_1$；

(2)求三棱柱 $ABD-A_1{B}_1{D}_1$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(1)$ $BD\parallel B_1{D}_1$ → $BD\parallel$ 平面 $C{D}_1{B}_1$；$A_1{B}_1\parallel DC$ 且 $A_1{B}_1=DC$ → $A_1{B}_{1}CD$ 为平行四边形 → $A_{1}B\parallel D_{1}C$ → $A_{1}B\parallel$ 平面 $C{D}_1{B}_1$；故面面平行。
2. $(2)$ $AC=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$，$AO=1$；$A_{1}O=\sqrt{A{A}_1^2-A{O}^2}=\sqrt{2-1}=1$。
3. $S_{△ABD}=\frac{1}{2}\times 2=1$（正方形面积 $2$ 的一半）→ $V=1\times 1=1$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)见解析；(2)$1$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为四棱柱的上下底面是全等的正方形且对应边平行，所以 $BD\parallel B_1{D}_1.$ 又 $B_1{D}_1\subset$ 平面 $C{D}_1{B}_1$，$BD\not\subset$ 平面 $C{D}_1{B}_1$，故 $BD\parallel \text{平面}C{D}_1{B}_1.$ 另一方面，$A_1{B}_1\parallel AB$，而底面正方形中 $AB\parallel DC$ 且 $AB=DC$，所以 $A_1{B}_1\parallel DC$ 且 $A_1{B}_1=DC$，四边形 $A_1{B}_{1}CD$ 是平行四边形，从而 $A_{1}B\parallel D_{1}C.$ 由 $D_{1}C\subset$ 平面 $C{D}_1{B}_1$，$A_{1}B\not\subset$ 平面 $C{D}_1{B}_1$，得 $A_{1}B\parallel \text{平面}C{D}_1{B}_1.$ 平面 $A_{1}BD$ 内的两条相交直线 $BD$、$A_{1}B$ 都平行于平面 $C{D}_1{B}_1$，由面面平行的判定定理， $\text{平面}{A}_{1}BD\parallel \text{平面}C{D}_1{B}_1.$ （2） 底面 $ABCD$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，故对角线 $AC=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2,AO=\frac{1}{2}AC=1.$ 因为 $A_{1}O\perp$ 平面 $ABCD$，在 $\mathrm{Rt}△A_{1}AO$ 中（$\angle A_{1}OA=90^{\circ }$，$A{A}_1=\sqrt{2}$）： $A_{1}O=\sqrt{A{A}_1^2-A{O}^2}=\sqrt{2-1}=1.$ $A_{1}O\perp$ 平面 $ABCD$ 意味着 $A_{1}O$ 垂直于平面 $ABD$，故三棱柱 $ABD-A_1{B}_1{D}_1$ 的高为 $A_{1}O=1$。 底面 $△ABD$ 是正方形的一半： $S_{△ABD}=\frac{1}{2}\times (\sqrt{2}{)}^2=\frac{1}{2}\times 2=1.$ 于是三棱柱的体积 $V=S_{△ABD}\times A_{1}O=1\times 1=1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面平行的判定与柱体体积

核心方法：$(1)$ $BD\parallel B_1{D}_1$ → $BD\parallel$ 平面 $C{D}_1{B}_1$；又 $A_1{B}_1\parallel DC$ 且相等 → $A_1{B}_{1}CD$ 是平行四边形 → $A_{1}B\parallel D_{1}C$ → $A_{1}B\parallel$ 平面 $C{D}_1{B}_1$；两相交直线 $BD$、$A_{1}B$ 都平行于该平面 → 面面平行；$(2)$ $AO=\frac{1}{2}AC=1$，$A_{1}O=\sqrt{A{A}_1^2-A{O}^2}=1$，$S_{△ABD}=1$ → $V=1$

避坑指南：$(1)$ 关键在把 $A_{1}B$ 的平行关系找出来（借助平行四边形 $A_1{B}_{1}CD$），再用”一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面”判定；$(2)$ 求体积要先证 $A_{1}O$ 是三棱柱的高（由 $A_{1}O\perp$ 平面 $ABCD$ 且 $A_{1}O\perp BD$ 段所在平面），$S_{△ABD}$ 是正方形面积的一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面平行的判定与三棱柱的体积。

结论推广：线面平行判定定理；面面平行判定定理；柱体体积公式。

方法推广：找两组线线平行 → 用线面平行推面面平行 → 求 $A_{1}O$ 与底面积 → 相乘得体积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱体积
• 2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直
• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直