2013-陕西卷理-10 单-高斯函数

本题导读

本题考查常见函数，以及高斯函数。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则对任意实数 $x,y$，有()

A. $[-x]=-[x]$　　　　　　　　　　　　　B. $[2x]=2[x]$

C. $[x+y]\le [x]+[y]$　　　　　　　　　　D. $[x-y]\le [x]-[y]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义：$[x]$ 是满足 $n\le x<n+1$ 的整数 $n$。其核心特征是 $x-1<[x]\le x$。
2. 策略选择：对于这类关于取整函数的全称命题判定，最有效的方法是特值法。通过选取非整数（尤其是含有较大小数部分的数）来检验选项。
3. 逻辑推演：
   • 检验 A：考虑正负数取整的差异。
   • 检验 B：考虑小数部分是否超过 0.5。
   • 检验 C：考虑两个小数部分之和是否进位。
   • 检验 D：分析差值的取整特性。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：特值检验排除 A、B、C

• 判定 A：取 $x=0.5$。 $[-0.5]=-1$，而 $-[0.5]=0$。$-1\ne 0$，故 A 错误。 （注：仅当 $x$ 为整数时，$[-x]=-[x]$ 成立）。

• 判定 B：取 $x=0.6$。 $[2\times 0.6]=[1.2]=1$，而 $2[0.6]=2\times 0=0$。$1\ne 0$，故 B 错误。

]

• 判定 C：取 $x=0.6,y=0.6$。 $[0.6+0.6]=[1.2]=1$，而 $[0.6]+[0.6]=0+0=0$。 此时 $1>0$，与选项中 $\le$ 矛盾，故 C 错误。 （实际上，正确的性质是 $[x+y]\ge [x]+[y]$）。

第二步：逻辑分析判定 D 设 $x=n_1+\alpha$，$y=n_2+\beta$，其中 $n_1,n_2\in \mathbb{Z}$，$0\le \alpha ,\beta <1$。 则 $[x]=n_1,[y]=n_2$。 $[x-y]=[n_1-n_2+\alpha -\beta ]=n_1-n_2+[\alpha -\beta ]$ 因为 $0\le \alpha <1$ 且 $0\le \beta <1$，所以 $-1<\alpha -\beta <1$。

• 若 $\alpha \ge \beta$，则 $0\le \alpha -\beta <1$，此时 $[\alpha -\beta ]=0$。
• 若 $\alpha <\beta$，则 $-1<\alpha -\beta <0$，此时 $[\alpha -\beta ]=-1$。 无论是哪种情况，$[\alpha -\beta ]$ 的值总是 $\le 0$。 因此： $[x-y]=n_1-n_2+[\alpha -\beta ]\le n_1-n_2=[x]-[y]$ 故 D 正确。

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：取整函数的定义及其常用性质。

核心方法：特值法 是解决性质辨析类选择题的首选。在选取特值时，应优先尝试含有 $0.5$ 以上小数部分的数值（容易进位）以及负数。

避坑指南：很多学生会习惯性地认为 $[x+y]=[x]+[y]$ 或类似于分配律的性质，这是由于对“最大整数”定义的动态变化理解不够深刻导致的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数、数论中的取整应用。

结论推广：- 埃尔米特恒等式：$[2x]=[x]+[x+0.5]$。 - 加法性质：$[x]+[y]\le [x+y]\le [x]+[y]+1$。

方法推广：在处理取整函数不等式时，尝试令 $x=[x]+\{x\}$，其中 $\{x\}$ 是小数部分，利用 $0\le \{x\}<1$ 建立夹逼关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数
• 2015-山东卷文-08 单-奇函数
• 2015-上海卷文-04 填-反函数