2013-陕西卷理-15 填-柯西不等式的代数形式

本题导读

本题考查不等式选讲，以及柯西不等式。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） （不等式选做题） 已知 $a,b,m,n$ 均为正数，且 $a+b=1,mn=2$，则 $(am+bn)(bm+an)$ 的最小值为 $\underline{}$. （几何证明选做题） 如图，弦 $AB$ 与 $CD$ 相交于 $\odot O$ 内一点 $E$，过 $E$ 作 $BC$ 的平行线与 $AD$ 的延长线相交于点 $P$.已知 $PD=2,DA=1$，则 $PE=$ $\underline{}$.

（坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角 $\theta$ 为参数，则圆 $x^2+y^2-x=0$ 的参数方程为 $\underline{}$.


🔍【思路分析】

破题导航

观察待求式 $(am+bn)(bm+an)$ 的结构，可以联想到柯西不等式的结构 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$。由于涉及乘积且已知和与积的值，直接展开或利用柯西不等式最为快捷。

1. 利用平行线产生的同位角/内错角寻找相似三角形。

2. 利用圆内接四边形的性质（如对角互补或圆周角相等）寻找角度关联。

3. 建立关于 $PE$ 的比例式求解。

4. 将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心和半径。

5. 根据参数 $\theta$ 的几何定义（过原点直线的倾斜角），建立 $x,y$ 与 $\theta$ 的三角函数关系。

6. 利用直角三角形的性质或代入直线方程 $y=x\tan \theta$ 求解。

✅【答案】

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（A. 不等式选做题）2；（B. 几何证明选做题）$\sqrt{6}$；（C. 坐标系与参数方程选做题）$\{\begin{array}{l}x={\cos }^2\theta \\ y=\sin \theta \cos \theta \end{array}$ ($0\le \theta <\pi$)

✍【详细解析】

Abstract

根据柯西不等式： $(am+bn)(bn+am)=({\sqrt{am}}^2+{\sqrt{bn}}^2)({\sqrt{bn}}^2+{\sqrt{am}}^2)\ge (\sqrt{am}\cdot \sqrt{an}+\sqrt{bn}\cdot \sqrt{bm}{)}^2$ $=(a\sqrt{mn}+b\sqrt{mn}{)}^2=(\sqrt{mn}(a+b){)}^2$ 将已知条件 $a+b=1,mn=2$ 代入： $=(\sqrt{2}\cdot 1{)}^2=2$ 当且仅当 $\frac{am}{bn}=\frac{bn}{am}$ 即 $a=b,m=n$ 时取等号。 故填入答案为：2。

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B. 几何证明选做题

因为 $PE//BC$，所以 $\angle PED=\angle BCD$（内错角）。 又在 $\odot O$ 中，$\angle BCD=\angle BAD$（同弧 $BD$ 所对圆周角相等）， 所以 $\angle PED=\angle PAE$。 在 $△PDE$ 与 $△PEA$ 中： $\angle P$ 为公共角，$\angle PED=\angle PAE$， 故 $△PDE\sim △PEA$。 根据相似三角形性质得：$\frac{PE}{PA}=\frac{PD}{PE}⟹P{E}^2=PA\cdot PD$。 由题意 $PD=2,DA=1$，则 $PA=PD+DA=2+1=3$。 代入得：$P{E}^2=3\times 2=6⟹PE=\sqrt{6}$。 故填入答案为：$\sqrt{6}$。

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C. 坐标系与参数方程选做题

圆的方程化为：$(x-\frac{1}{2}{)}^2+y^2=\frac{1}{4}$。 设过原点的直线方程为 $y=x\tan \theta$。 代入圆方程 $x^2+y^2-x=0$： $x^2+(x\tan \theta {)}^2-x=0⟹x^2(1+{\tan }^2\theta )=x$ $x\cdot {\sec }^2\theta =1⟹x={\cos }^2\theta$。 将 $x={\cos }^2\theta$ 代入 $y=x\tan \theta$： $y={\cos }^2\theta \cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\sin \theta \cos \theta$。 由于直线倾斜角 $\theta$ 的范围是 $[0,\pi )$，且圆经过原点。 故圆的参数方程为：$\{\begin{array}{l}x={\cos }^2\theta \\ y=\sin \theta \cos \theta \end{array}$ ($0\le \theta <\pi$)。 （注：也可化简为 $x=\frac{1+\cos 2\theta }{2},y=\frac{\sin 2\theta }{2}$）。 故填入答案为：$\{\begin{array}{l}x={\cos }^2\theta \\ y=\sin \theta \cos \theta \end{array}$ ($0\le \theta <\pi$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

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核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

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试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式
• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2026-北京卷-13 填-对数不等式
• 2014-上海卷文-23 解-数列不等式
• 2025-新高考II卷-04 单-分式不等式