2013-陕西卷理-16 解-向量坐标运算

本题导读

本题考查向量的数量积。核心在于辅助角公式法、整体换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a}=\left(\cos x,-\frac{1}{2}\right)$，$\mathbf{b}=\left(\sqrt{3}\sin x,\cos 2x\right)$，$x\in \mathbb{R}$，设函数 $f(x)=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$.

（I）求 $f(x)$ 的最小正周期；

（II）求 $f(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 函数解析式化简：
   • 首先利用向量数量积的坐标公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 写出 $f(x)$。
   • 利用二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 将乘积项转化为二倍角形式。
   • 利用辅助角公式 $a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\alpha +\phi )$ 将函数统一为一个正弦量。
2. 第一问（求周期）：
   • 根据化简后的形式 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$，利用公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 直接求解。
3. 第二问（求区间最值）：
   • 采用“整体换元”的思想。由 $x$ 的范围推导出相位 $(2x-\frac{\pi }{6})$ 的范围。
   • 结合正弦函数的图象性质，确定该相位区间内正弦值的取值情况。

✅【答案】

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所以，$f(x)$ 在该区间上的最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简 $f(x)$ 的解析式 由题意得： $f(x)=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sqrt{3}\sin x\cos x-\frac{1}{2}\cos 2x$ 利用二倍角公式 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$，得： $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x$ 利用辅助角公式： $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

（I）解： 因为 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，其中 $\omega =2$。 所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

（II）解： 因为 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $2x\in [0,\pi ]$， 则相位 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$。

根据正弦函数图象：

• 当 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{3}$ 时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$。
• 当 $2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$，即 $x=0$ 时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最小值 $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$。 (注：相位终点 $5\pi /6$ 处的正弦值为 $1/2$，大于 $-1/2$，故最小值在起点处取得)

所以，$f(x)$ 在该区间上的最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量坐标运算、三角恒等变换（特别是辅助角公式）、正弦型函数的周期性与单调性/最值。

核心方法：“先化简，后研究”。拿到三角函数综合题，第一步永远是利用恒等变换将其收缩为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的形式。

避坑指南：在求区间最值时，一定要先求出“整体”的范围，再对应正弦曲线的波峰、波谷或端点值进行判断，切忌直接代入区间端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二倍角公式（降幂公式）、正弦型函数的图象变换。

结论推广：辅助角公式中，$\phi$ 的选取由点 $(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$ 所在的象限决定。

方法推广：若题目要求单调区间，同样先求整体相位范围，再解不等式 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-12 填-向量坐标运算
• 2023-北京卷-03 单-向量坐标运算
• 2014-广东卷文-03 单-向量坐标运算