2014-上海卷文-12 填-三角方程

本题导读

考查三角方程。先用辅助角公式化成 $\sin (\text{相位})=\frac{1}{2}$，再在给定区间内不重不漏地列解并求和。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 方程 $\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$ 在区间 $[0,2\pi ]$ 上的所有解的和等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$。
2. 化为 $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$，按 $x+\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\right]$ 列解。
3. 解为 $x=\frac{\pi }{2}$ 与 $x=\frac{11\pi }{6}$，求和。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{7\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由辅助角公式

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1⟹\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}.$

因 $x\in [0,2\pi ]$，故 $x+\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\right]$，该区间内满足正弦值为 $\frac{1}{2}$ 的角为

$x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}\text{或}x+\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{6}.$

解得 $x=\frac{\pi }{2}$ 与 $x=\frac{11\pi }{6}$。所有解的和为

$\frac{\pi }{2}+\frac{11\pi }{6}=\frac{3\pi +11\pi }{6}=\frac{7\pi }{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式；三角方程在给定区间上的解。

2. 核心方法：“化一 → 平移区间 → 列解”，区间平移后按正弦函数的周期结构列全部解。

3. 避坑指南：平移后的区间是 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\right]$，长度超过一个周期，解必须逐个列出再求和；漏掉 $x=\frac{11\pi }{6}$（对应 $\frac{13\pi }{6}$）是最常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角方程是上海卷的固定考点（“解三角形”之外三角板块的主打题型），历年反复出现。

2. 结论推广: 若右端改为 $0$，则 $x+\frac{\pi }{3}=k\pi$，$[0,2\pi ]$ 内解为 $\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$，和为 $\frac{7\pi }{3}$，恰与本题相同。

3. 方法推广: “辅助角化一 + 区间整体平移”是解一切 $a\sin x+b\cos x=c$ 型方程的标准流程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2016-上海卷文-8
• 2014-上海卷理-12 填-辅助角公式