2014-上海卷理-12 填-辅助角公式

本题导读

本题通过辅助角公式将复杂的三角方程转化为标准正弦函数形式，考查在给定闭区间内方程解的个数问题。核心在于利用函数图象的对称性求多个解的和。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 设常数 $a$ 使方程 $\sin x+\sqrt{3}\cos x=a$ 在闭区间 $[0,2\pi ]$ 上恰有三个解 $x_1,x_2,x_3$，则 $x_1+x_2+x_3=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简方程：利用辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$ 简化左侧。
2. 分析区间：确定换元后变量 $t=x+\frac{\pi }{3}$ 的取值范围。
3. 数形结合：画出 $y=2\sin (x+\frac{\pi }{3})$ 在 $[0,2\pi ]$ 上的图象。观察直线 $y=a$ 与图象在何处有三个交点。
4. 对称性求和：
   • 确定交点个数为 3 时的特定 $a$ 值。
   • 利用正弦图象关于对称轴对称的性质，求出解的和。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{7\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简方程 原方程为：$\sin x+\sqrt{3}\cos x=a$ 提取公因子 2： $2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=a$ 利用辅助角公式得： $2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=a$

第二步：确定区间范围与交点情况 设 $f(x)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$。当 $x\in [0,2\pi ]$ 时：

• $f(0)=2\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$；
• $f(2\pi )=2\sin (2\pi +\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}$。 ] 观察函数在一个周期内的图象：

1. 峰值在 $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}⟹x=\frac{\pi }{6}$。
2. 谷值在 $x+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}⟹x=\frac{7\pi }{6}$。
3. 端点值 $f(0)=f(2\pi )=\sqrt{3}$。 由图象可知，当且仅当水平直线 $y=\sqrt{3}$ 时，直线与曲线在 $[0,2\pi ]$ 上恰有三个交点（分别是左端点、右端点及中间的一个对称点）。

第三步：求三个解之和 当 $a=\sqrt{3}$ 时，方程为 $2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$，即 $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由图象可知三个解分别为：

• $x_1=0$；
• $x_2$ 满足 $x_2+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}⟹x_2=\frac{\pi }{3}$；
• $x_3=2\pi$。 则 $x_1+x_2+x_3=0+\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}$。

故答案为 $\frac{7\pi }{3}$


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式的准确化简 $\phi =\arctan (\sqrt{3}/1)=\frac{\pi }{3}$。

2. 核心方法：端点值验证法。在处理周期函数的解的个数问题时，区间端点是否包含在内往往是产生“三个解”的关键。

3. 避坑指南：容易忽略端点 $0$ 和 $2\pi$ 处函数值相等这一事实。如果区间是开区间，则无法取得三个解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦函数的单调区间、三角函数的有界性。

2. 结论推广: 若 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$，当直线经过区间端点且端点值相等时，解的个数通常会发生奇偶性变化。

3. 方法推广: 涉及三角方程解的和，应优先考虑图象关于 $x=\frac{\pi }{2\omega }-\frac{\phi }{\omega }$ 的对称性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-04 单-辅助角公式
• 2013-新课标I卷理-15 填-辅助角公式
• 2013-江西卷理-11 填-倍角公式