2014-上海卷理-05 填-利用基本不等式求最值

本题导读

本题考查基本不等式在求代数式最小值中的应用。通过简单的项变形，构造出乘积为定值的形式，直接利用均值不等式求解。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 若实数 $x,y$ 满足 $xy=1$，则 $x^2+2y^2$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 目标观察：待求式为 $x^2+2y^2$，已知条件为 $xy=1$。
2. 构造定值：注意到 $x^2\cdot 2y^2=2(xy{)}^2$，由于 $xy$ 是定值，乘积亦为定值。
3. 运用公式：利用算术-几何平均不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 直接求解。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：运用基本不等式 因为 $x^2\ge 0$，$2y^2\ge 0$，由基本不等式得： $x^2+2y^2\ge 2\sqrt{x^2\cdot 2y^2}$

第二步：代入已知条件 $x^2+2y^2\ge 2\sqrt{2(xy{)}^2}$ 由于 $xy=1$，代入上式得： $x^2+2y^2\ge 2\sqrt{2\cdot 1^2}=2\sqrt{2}$

第三步：确认等号成立条件 当且仅当 $x^2=2y^2$ 且 $xy=1$ 时等号成立。 由 $xy=1$ 得 $x^2{y}^2=1$，代入 $x^2=2y^2$ 得 $2y^4=1⟹y^2=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 此时 $x,y$ 有实数解，故最小值可取。

故答案为 $2\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 的应用前提：“一正、二定、三相等”。

2. 核心方法：直接公式法。在已知乘积为定值时，求各项平方和的最小值是基本不等式的典型用法。

3. 避坑指南：虽然本题 $x,y$ 为实数（不一定是正数），但由于式中出现的是 $x^2$ 和 $y^2$，天然满足“正数”条件，因此可以直接使用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 的应用前提：“一正、二定、三相等”。

2. 结论推广: 若 $xy$ 为定值 $c$，则 $x^2+k{y}^2\ge 2\sqrt{k}|c|$。

3. 方法推广: 直接公式法。在已知乘积为定值时，求各项平方和的最小值是基本不等式的典型用法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

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