2013-天津卷理-14 填-利用基本不等式求最值

本题导读

本题考查基本不等式，以及利用基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 设 $a+b=2$，$b>0$，则当 $a=$ $\underline{}$ 时，$\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}$ 取得最小值.

🔍【思路分析】

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1. 构造“乘1”形式：已知 $a+b=2$，则 $\frac{a+b}{2}=1$。目标式可以乘以这个“1”进行展开。
2. 分类讨论绝对值：由于含有 $|a|$，需要分 $a>0$ 和 $a<0$ 两种情况讨论。
   • 若 $a>0$，则 $|a|=a$；
   • 若 $a<0$，则 $|a|=-a$。
3. 应用基本不等式：展开后形式为 $m+n+\text{常数}$，利用 $m+n\ge 2\sqrt{mn}$ 寻求最小值。
4. 确定取等条件：根据 $m=n$ 建立关于 $a,b$ 的方程，并结合 $a+b=2$ 解出 $a$ 的值。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a+b=2$ 得 $\frac{a+b}{2}=1$。 目标式 $y=\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}=\frac{a+b}{2}\cdot \frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}$ 展开得： $y=\frac{a}{4|a|}+\frac{b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$

第一步：分类讨论

1. 当 $a>0$ 时：$\frac{a}{|a|}=1$。 $y=\frac{1}{4}+\left(\frac{b}{4a}+\frac{a}{b}\right)\ge \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{b}{4a}\cdot \frac{a}{b}}=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$。 此时取等号条件为 $\frac{b}{4a}=\frac{a}{b}⟹b^2=4a^2⟹b=2a$（因 $a,b>0$）。 联立 $a+b=2$ 得 $a=\frac{2}{3}$。

2. 当 $a<0$ 时：$\frac{a}{|a|}=-1$。 $y=-\frac{1}{4}+\left(\frac{b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}\right)\ge -\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{b}{4|a|}\cdot \frac{|a|}{b}}=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}$。 此时取等号条件为 $\frac{b}{4|a|}=\frac{|a|}{b}⟹b^2=4|a{|}^2⟹b=2|a|$。 因为 $a<0$，故 $|a|=-a$，所以 $b=-2a$。 代入 $a+b=2$ 得 $a+(-2a)=2⟹-a=2⟹a=-2$。

第二步：比较最小值 比较 $\frac{5}{4}$ 和 $\frac{3}{4}$，可知当 $a=-2$ 时，原式取得更小的最小值 $\frac{3}{4}$。

故填入答案为：$-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ ($x,y>0$)；“乘1”代换技巧。

核心方法：分类讨论。在解析几何或代数最值中，绝对值符号往往是分类的天然分界线。

避坑指南：- 使用基本不等式前必须确认项的正负性（本题 $b>0,|a|>0$ 满足条件）。 - 必须验证取等号时变量的取值是否在定义域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：权方和不等式（本题的另一种进阶解法视角）。

结论推广：对于 $\frac{m}{x}+\frac{n}{y}$ 型最值，若已知 $ax+by=c$，常用常数代换法。

方法推广：若不等式中含有多个绝对值，可考虑使用几何意义（数轴距离）求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值
• 2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值
• 2026-天津卷-07 单-基本不等式