2014-北京卷文-08 单-二次函数模型

本题导读

读图 $p(3)=0.7$、$p(4)=0.8$、$p(5)=0.5$，解得 $a=-0.2$、$b=1.5$，顶点 $t=-\frac{b}{2a}=3.75$，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为”可食用率”.在特定条件下，可食用率 $p$ 与加工时间 $t$（单位：分钟）满足函数关系 $p=a{t}^2+bt+c$（$a$，$b$，$c$ 是常数），下图记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()

A. 3.50 分钟　　B. 3.75 分钟　　C. 4.00 分钟　　D. 4.25 分钟

🔍【思路分析】

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读图 $p(3)=0.7$、$p(4)=0.8$、$p(5)=0.5$，解得 $a=-0.2$、$b=1.5$，顶点 $t=-\frac{b}{2a}=3.75$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

读图得三次实验数据：$p(3)=0.7$，$p(4)=0.8$，$p(5)=0.5$。

代入 $p=a{t}^2+bt+c$：

$9a+3b+c=0.7$，$16a+4b+c=0.8$，$25a+5b+c=0.5$。

相邻两式相减消去 $c$：$7a+b=0.1$，$9a+b=-0.3$；再相减得 $2a=-0.4$，$a=-0.2$，进而 $b=0.1-7\times (-0.2)=1.5$。

$a=-0.2<0$，抛物线开口向下，可食用率的最大值在顶点处取得：

$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{1.5}{2\times (-0.2)}=3.75$。

所以最佳加工时间为 3.75 分钟。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数模型的应用；待定系数法

2. 核心方法：读点 → 设模型 → 待定系数 → 顶点公式回答实际问题

3. 避坑指南：①”最佳加工时间”是可食用率最大的时刻，即抛物线顶点横坐标，不是 $p$ 最大的那个实验点 $t=4$；②解方程组用”相邻相减”消 $c$ 最快，别硬解三元方程组。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二次函数模型应用题，与 1993 年旧高考理第 22 题、2000 年广东卷理第 6 题同章。

2. 结论推广: 一般地，抛物线过三个已知点时用待定系数法；三点横坐标等距时”相邻方程相减”两步就能定出 $a$、$b$，是标准省力技巧。

3. 方法推广: 函数拟合问题四步：读点 → 设模型 → 待定系数 → 按最值/零点回答实际问题，最后检查 $a$ 的符号与开口方向一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考理-22
• 2000-广东卷理-06 单-分段函数模型的应用