2009-上海卷文-21 解-掌握程度函数模型

本题导读

考查函数应用。（1）$x>6$ 时 $f(x)=1-\frac{0.4}{x-4}$，增量 $f(x+1)-f(x)=\frac{0.4}{(x-4)(x-3)}>0$ 且递减；（2）$f(6)=85\%$ 解得 $a\approx 122.9\in (121,127]$，学科乙。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 有时可用函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}0.1+15\ln \frac{a}{a-x},& x⩽6,\\ \frac{x-4.4}{x-4},& x>6\end{array}$ 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 $x$ 表示某学科知识的学习次数（$x\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），$f(x)$ 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 $a$ 与学科知识有关.

(1)证明：当 $x⩾7$ 时，掌握程度的增加量 $f(x+1)-f(x)$ 总是下降；

(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 $a$ 的取值区间分别为 $(115,121]$，$(121,127]$，$(121,133]$.当学习某学科知识 $6$ 次时，掌握程度是 $85\%$，请确定相应的学科.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x>6$ 时 $f(x)=1-\frac{0.4}{x-4}$，故 $f(x+1)-f(x)=\frac{0.4}{(x-4)(x-3)}$。
2. $x⩾7$ 时增量恒正，且分母 $(x-4)(x-3)$ 随 $x$ 增大而增大，故增量总是下降。
3. $f(6)=0.85$：$0.1+15\ln \frac{a}{a-6}=0.85\Rightarrow \frac{a}{a-6}={\mathrm{e}}^{0.05}\Rightarrow a=\frac{6{\mathrm{e}}^{0.05}}{{\mathrm{e}}^{0.05}-1}\approx 122.9$。
4. $122.9\in (121,127]$，学科乙。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2)学科乙

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $x>6$ 时，$f(x)=\frac{x-4.4}{x-4}=1-\frac{0.4}{x-4}$。 于是 $f(x+1)-f(x)=\left(1-\frac{0.4}{x-3}\right)-\left(1-\frac{0.4}{x-4}\right)=\frac{0.4}{(x-4)(x-3)}$。 当 $x⩾7$ 时，$(x-4)(x-3)>0$ 且随 $x$ 增大而增大，所以增量 $f(x+1)-f(x)$ 恒为正且逐渐减小，即掌握程度的增加量总是下降。 （2）由 $f(6)=0.85$：$0.1+15\ln \frac{a}{a-6}=0.85$，即 $\ln \frac{a}{a-6}=0.05$，$\frac{a}{a-6}={\mathrm{e}}^{0.05}$。 解得 $a=\frac{6{\mathrm{e}}^{0.05}}{{\mathrm{e}}^{0.05}-1}$。由 ${\mathrm{e}}^{0.05}\approx 1.0513$，得 $a\approx \frac{6\times 1.0513}{0.0513}\approx 122.9$。 因为 $122.9\in (121,127]$，所以相应的学科是学科乙。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数模型与对数运算

核心方法：作差证增量递减 + 对数方程反解

避坑指南：$f(x)=1-\frac{0.4}{x-4}$ 的改写是全题钥匙；增量 $\frac{0.4}{(x-4)(x-3)}$ 恒正但递减——“上升且升得越来越慢”就是”增加量下降”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：学习掌握程度模型是上海卷应用题名题。

结论推广：$\ln \frac{a}{a-6}=0.05\Rightarrow a=\frac{6{\mathrm{e}}^{0.05}}{{\mathrm{e}}^{0.05}-1}$。

方法推广：${\mathrm{e}}^{0.05}\approx 1.0513$ 直接代入；区间端点 $121$、$127$ 的归属决定学科判断，$122.9\in (121,127]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值
• 2012-湖南卷文-20 解-数列递推与增长率
• 2014-北京卷文-08 单-二次函数模型