2014-北京卷理-02 单-函数单调性

本题导读

本题考查基本初等函数的单调性。要求学生熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数在特定区间内的增减特性，通过观察图象或利用复合函数单调性法则进行判定。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 下列函数中，在区间 $(0,+\infty )$ 上为增函数的是()

A. $y=\sqrt{x+1}$　　B. $y=(x-1{)}^2$　　C. $y=2^{-x}$　　D. $y={\log }_{0.5}(x+1)$

🔍【思路分析】

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1. 选项 A：$y=\sqrt{x+1}$ 是幂函数 $y=x^{0.5}$ 向左平移得到的。其在定义域 $[-1,+\infty )$ 上均递增。
2. 选项 B：$y=(x-1{)}^2$ 是二次函数。对称轴为 $x=1$，在 $(-\infty ,1]$ 递减，在 $[1,+\infty )$ 递增。在 $(0,1)$ 段不满足递增。
3. 选项 C：$y=2^{-x}=(\frac{1}{2}{)}^x$。底数为 $\frac{1}{2}\in (0,1)$ 的指数函数，在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。
4. 选项 D：$y={\log }_{0.5}(x+1)$。底数为 $0.5<1$ 的对数函数，在定义域 $(-1,+\infty )$ 上单调递减。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• A 选项：因为 $y=\sqrt{u}$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，且 $u=x+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，所以 $y=\sqrt{x+1}$ 在其定义域 $[-1,+\infty )$ 上单调递增，包含区间 $(0,+\infty )$。故 A 正确。
• B 选项：二次函数 $y=(x-1{)}^2$ 的单调递增区间为 $[1,+\infty )$，而在 $(0,1)$ 上为减函数。故 B 错误。
• C 选项：指数函数 $y=2^{-x}=(\frac{1}{2}{)}^x$，因为 $0<\frac{1}{2}<1$，所以该函数在 $\mathbb{R}$ 上为减函数。故 C 错误。
• D 选项：对数函数 $y={\log }_{0.5}(x+1)$，因为底数 $0.5<1$，根据对数函数性质可知其在 $(-1,+\infty )$ 上为减函数。故 D 错误。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本初等函数在区间上的单调性判断。

2. 核心方法：逐项利用幂指对函数及二次函数的单调性判定增减性。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的单调性。

2. 结论推广: 指数函数底数在 $(0,1)$ 递减、大于 1 递增，对数函数同理。

3. 方法推广: 判断具体函数单调性时逐项验证区间性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2023-新高考I卷-04 单-复合函数单调性
• 2013-四川卷理-10 单-单调性