2024-新高考I卷-08 单-斐波那契数列

本题导读

本题考查抽象函数的性质与递推不等式。核心意图是要求学生通过给定的递推不等式 $f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ 识别出其增长速度快于斐波那契数列，并通过构造具体的下界序列来判定函数值在特定点处的范围.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$.当 $x<3$ 时 $f(x)=x$，则下列结论中一定正确的是()

A. $f(0)>100$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $f(20)>1000$

C. $f(10)<1000$　　　　　　　　　　　　　　D. $f(20)<10000$

🔍【思路分析】

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1. 分析已知信息： 当 $x<3$ 时，$f(x)=x$。由此可得： $f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2$。这一步直接排除了 A 选 项.

2. 利用递推关系推导下界： 由于 $f(x)>f(x-1)+f(x-2)$，其结构与斐波那契数列 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ 类似。我们可以通过整数点 $n=3,4,5\dots$ 的取值建立下界.

3. 计算具体项：

• $f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3$
• $f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5$
• $f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8$ 观察发现，对于整数 $n\ge 3$，$f(n)>F_{n+1}$（其中 $F_n$ 是标准斐波那契数列：$1,1,2,3,5,8,13\dots$）.注意 $n=1,2$ 时取等号（$f(1)=1=F_2$，$f(2)=2=F_3$），严格大于从 $f(3)>f(2)+f(1)=3=F_4$ 才开始.

4. 判定选项：计算 $f(20)$ 的大致下界，验证其是否大于 $1000$；同时考虑是否存在增长极快的函数满足条件，从而排除上限约束选项（C、D）.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：基础值判断 由 $x<3$ 时 $f(x)=x$ 知： $f(0)=0$，显然 A 错误.

第二步：构建递推序列（下界） 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=f(n)$。由题意： $a_1=f(1)=1$ $a_2=f(2)=2$ $a_3>a_2+a_1=3$ $a_4>a_3+a_2>3+2=5$ $a_5>a_4+a_3>5+3=8$ 依此类推，发现该序列增长速度超过斐波那契数列。记斐波那契 数列为 $F_1=1,F_2=1,F_3=2,F_4=3,F_5=5,F_6=8\dots$ 可知当 $n\ge 3$ 时，$f(n)>F_{n+1}$（$n=1,2$ 恰好取等，故下标从 $3$ 起）.

第三步：估算 $f(20)$ 根据斐波那契数列通项公式的增长性（公比约为 $\varphi \approx 1.618$）： $F_6=8$ $F_{11}=F_6\cdot {\varphi }^5\approx 8\cdot 11=88$ 或者直接列举： $F_6=8,F_7=13,F_8=21,F_9=34,F_{10}=55,F_{11}=89,F_{12}=144,F_{13}=233,F_{14}=377,F_{15}=610,F_{16}=987,F_{17}=1597\dots$ 当 $n=20$ 时，$f(20)>F_{21}$. 已知 $F_{17}=1597>1000$，且数列单调递增，故 $F_{21}$ 远大于 $1000$. 因此 $f(20)>1000$ 一定正确。B 正确.

第四步：排除上限选项（C、D） 由于题目只给定 $f(x)>f(x-1)+f(x-2)$，并没有给定上界. 我们可以构造一个增长极快的函数，例如 $f(x)=10^x$（当 $x\ge 3$ 时），只需调整连接处使其连续且满足不等式即可. 因为增长速度可以无限大，所以 $f(10)<1000$ 和 $f(20)<10000$ 均不是一定正确的. 故选：B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数递推不等式的离散化下界估计、斐波那契数列模型的通项递进、利用“严格大于号”的自由度进行反例构造与排除。
2. 方法归纳：最低基底压缩法与反例穿透法。处理形如 $f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ 的单向不等式时，最核心的代数直觉是识别出其增长速度的最慢底盘被斐波那契数列所。通过将目标点的值向斐波那契数列的相应项进行归纳体现，可以迅速榨出其刚性的无理指数级下界。而对于任何上限命题，直接通过“人为制造大幅度向上跳跃”构造反例即可一票否决。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（误将不等式递推当成等式等调）：很多考生由于思维僵化，习惯性地把大题中的双向夹逼套用在客观题中，看到 C 和 D 的上限控制，误认为函数被某种对称性锁定，在 C 和 D 之间纠结从而痛失全盘。
• 避坑指南 2（斐波那契项数对齐发生位移）：在建立 $f(n)>F_{n+1}$ 的映射时，务必在草稿纸上规整地把前三项列出来（如 $f(3)>F_4$ ）。个别同学由于口算粗心，错记为 $f(n)>F_n$，导致计算 $f(20)$ 时套用了 $F_{20}=6765$，虽然不影响本题大于 1000 的定性判定，但在精细化不等式大题中会产生原则性漏洞。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高等数学《差分方程初步》中关于“二阶常系数线性齐次差分不等式的解的估计”以及组合数学中经典的“超级递增序列（Super-increasing sequence）”性质。新高考命题组抹去了大学泛函的繁琐术语，将其包装为高一最纯粹的抽象函数与数数，旨在高密度筛查尖子生在面对未知抽象模型时的“大局观”与代数韧性。
2. 结论推广（基于斐波那契模型的“超增长函数下界模型”）： 可将此类二阶延迟差分不等式模型提炼为一般模型：

• 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且满足 $f(x)>f(x-1)+f(x-2)$。若在 $x<3$ 时满足 $f(x)=x$。
• 则对于任意整数 $n\ge 3$，其在全轴上的离散极值下界恒完美对应于黄金分割比的指数级爆炸：
• $f(n)>F_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}\right]$
• 这一结论了该类函数的最低增长速率。收录这一“超增长下界网络”，能让您在面对后续任何变异的离散递推不等式时，拥有盲判远端项值域的绝对统治力。

3. 方法推广（从单离散点估计向连续导数放缩的思维泛化）：

本题所展现的“通过寻找最慢基底锁定下界、通过任意性制造阶跃粉碎上限”的思想，是攻克高考整张试卷后半段 35 分客观与主观压轴的终极。未来当这一考点从高一的“抽象递推不等式”推广到选择性必修第二册中的“结合导数工具证明复合超越不等式（如证明 $f^{\prime }(x)>f(x)+e^x$ 时的值域夹逼）”或者是最后一题新定义大题时，其底层解题运算能力——“寻找增长边界的临界常数方程，利用指数量级爆炸进行方向性单向放缩”，其操作本质完全合流。内化这一套流程，能让您在考场上拥有简化俯视全部压轴题的绝对大局观。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-10 单-单调性
• 2014-北京卷理-02 单-函数单调性
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性