2014-北京卷理-12 填-等差数列性质

本题导读

本题考查等差数列的前 $n$ 项和的最值问题。核心思路是利用等差中项性质确定数列通项的正负转折点。若前 $n$ 项均为正数且从第 $n+1$ 项开始变为负数，则前 $n$ 项和取得最大值。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 若等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_7+a_8+a_9>0$，$a_7+a_{10}<0$，则当 $n=$ $\underline{}$ 时，$\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和最大.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差中项简化条件：根据等差中项性质 $a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$，化简已知的不等式。

   • $a_7+a_8+a_9=3a_8>0$。

   • $a_7+a_{10}=a_8+a_9<0$。

2. 确定项的正负号：

   • 由 $3a_8>0$ 推出 $a_8$ 的正负。

   • 由 $a_8+a_9<0$ 结合 $a_8$ 的符号推出 $a_9$ 的正负。

3. 分析最值点：等差数列前 $n$ 项和 $S_n$ 取得最大值的充要条件是：$a_n\ge 0$ 且 $a_{n+1}\le 0$。即把所有正项都加起来，和最大。

✅【答案】

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8

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用等差数列性质化简已知条件

因为 $\{a_n\}$ 是等差数列，

所以 $a_7+a_9=2a_8$。

已知 $a_7+a_8+a_9>0⟹(a_7+a_9)+a_8>0⟹2a_8+a_8>0⟹3a_8>0$。

解得 $a_8>0$。

又已知 $a_7+a_{10}<0$，根据等差数列下标性质（若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$）：

$a_7+a_{10}=a_8+a_9<0$。

因为 $a_8>0$ 且 $a_8+a_9<0$，所以必有 $a_9<0$。

第二步：判定数列的单调性与最值点

由 $a_8>0$ 且 $a_9<0$ 可知，该等差数列是递减数列（公差 $d=a_9-a_8<0$）。

该数列的前 8 项均为正数（$a_8>a_7>\cdots >a_1>0$ 是错误的，应为 $a_1>a_2>\cdots >a_8>0$），而从第 9 项开始变为负数。

为了使前 $n$ 项和 $S_n$ 最大，应累加所有的正项。

即当 $n=8$ 时，$S_8$ 包含数列中所有的正项，其和达到最大值。

故答案为 8

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前 $n$ 项和的最值问题。

2. 核心方法：等差中项化简得 $a_8>0$、$a_9<0$，累加正项求和最大。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差中项与下标和性质 $a_m+a_n=a_p+a_q$。

2. 结论推广: $S_n$ 最大当且仅当 $a_n\ge 0$ 且 $a_{n+1}\le 0$。

3. 方法推广: 等差求和最值先定正负转折项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质
• 2013-上海卷理-10 填-等差数列性质
• 2013-上海卷文-02 填-等差数列性质