2014-四川卷文-08 单-俯角解三角形

本题导读

在两个直角三角形中分别求气球在地面的射影到 $B$、$C$ 的距离，作差即河宽。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 如图，从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B,C$ 的俯角分别为 $75^{\circ },30^{\circ }$，此时气球的高是 $60\mathrm{m}$，则河流的宽度 $BC$ 等于()

A. $240(\sqrt{3}-1)\mathrm{m}$　　B. $180(\sqrt{2}-1)\mathrm{m}$　　C. $120(\sqrt{3}-1)\mathrm{m}$　　D. $30(\sqrt{3}+1)\mathrm{m}$

🔍【思路分析】

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水平距离分别为 $60\cot 75^{\circ }=60(2-\sqrt{3})$ 与 $60\cot 30^{\circ }=60\sqrt{3}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设气球 $A$ 在地面的射影为 $D$，$AD=60$。 由俯角定义，$\angle ABD=75^{\circ }$，$\angle ACD=30^{\circ }$。 $BD=60\cot 75^{\circ }=60(2-\sqrt{3})$，$CD=60\cot 30^{\circ }=60\sqrt{3}$。 故 $BC=CD-BD=60\sqrt{3}-60(2-\sqrt{3})=120(\sqrt{3}-1)\mathrm{m}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解三角形的应用（俯角测距）

2. 核心方法：俯角转内角，两个直角三角形分别求水平距离再作差

3. 避坑指南：俯角 $75^{\circ }$、$30^{\circ }$ 分别是气球与两岸连线和水平线的夹角；河宽是两段水平距离之差 $60\cot 30^{\circ }-60\cot 75^{\circ }$，勿相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形的实际应用（测量距离）。

2. 结论推广: 俯角 $\alpha$ 处的水平距离 $=h\cot \alpha$；$\cot 75^{\circ }=2-\sqrt{3}$。

3. 方法推广: 测量类问题统一画水平线标俯角，转化为直角三角形解边。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-16 解-解三角形
• 2014-大纲卷文-18 解-解三角形求角