2014-四川卷文-09 单-动直线定点圆

本题导读

$P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，$|PA|+|PB|=\sqrt{10}(\sin \theta +\cos \theta )$。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 设 $m\in \mathbf{R}$，过定点 $A$ 的动直线 $x+my=0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $mx-y-m+3=0$ 交于点 $P(x,y)$，则 $|PA|+|PB|$ 的取值范围是()

A. $[\sqrt{5},2\sqrt{5}]$　　　　B. $[\sqrt{10},2\sqrt{5}]$　　　　C. $[\sqrt{10},4\sqrt{5}]$　　　　D. $[2\sqrt{5},4\sqrt{5}]$

🔍【思路分析】

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两直线恒垂直，$A(0,0)$，$B(1,3)$，$|AB|=\sqrt{10}$；$P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$x+my=0$ 恒过 $A(0,0)$；$mx-y-m+3=0$ 即 $m(x-1)-(y-3)=0$，恒过 $B(1,3)$。 两直线斜率之积为 $-1$（$m=0$ 时一竖一横），故 $AP\perp BP$，$P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，$|AB|=\sqrt{10}$。 设 $\angle PAB=\theta$，则 $|PA|=\sqrt{10}\cos \theta$，$|PB|=\sqrt{10}\sin \theta$， $|PA|+|PB|=\sqrt{10}(\sin \theta +\cos \theta )=\sqrt{20}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$。 由 $P$ 可与 $A$ 或 $B$ 重合，$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$，故取值范围是 $[\sqrt{10},2\sqrt{5}]$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线系过定点与圆的性质

2. 核心方法：两动直线恒垂直且过定点 $\to$ 交点在以定线段为直径的圆上

3. 避坑指南：$x+my=0$ 过 $A(0,0)$，$mx-y-m+3=0$ 过 $B(1,3)$，且两直线恒垂直；$|PA|+|PB|$ 以 $\sqrt{10}$ 为下界（$P$ 趋向 $A$ 或 $B$），上界 $2\sqrt{5}$ 在弧的中点取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线系方程、两条直线的位置关系与圆的性质。

2. 结论推广: 斜率之积为 $-1$ 恒垂直；直角三角形中 $|PA{|}^2+|PB{|}^2=|AB{|}^2$。

3. 方法推广: 动点轨迹先”定点 + 恒垂直”定圆，再用参数 $\theta$ 把折线和写成 $\sqrt{10}(\sin \theta +\cos \theta )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-06 单-直线与圆
• 2014-新课标II卷文-12 单-圆与45度角