2013-湖北卷文-14 填-圆上等距点

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 已知圆 $O$：$x^2+y^2=5$，直线 $l$：$x\cos \theta +y\sin \theta =1$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）. 设圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离等于 $1$ 的点的个数为 $k$，则 $k=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1. 圆心 $O$ 到 $l$ 的距离为 $1$（$r=\sqrt{5}$）。
2. 等距点轨迹：$x\cos \theta +y\sin \theta =0$（过圆心，交 $2$ 点）与 $x\cos \theta +y\sin \theta =2$（$d=2<\sqrt{5}$，交 $2$ 点）。
3. $k=2+2=4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $O$：$x^2+y^2=5$，半径 $r=\sqrt{5}$；圆心到 $l$ 的距离为 $\frac{|0-1|}{\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }}=1$。 到直线 $l$ 距离等于 $1$ 的点，位于 $l$ 的两条平行线上： $l_1:x\cos \theta +y\sin \theta =0,l_2:x\cos \theta +y\sin \theta =2.$

• $l_1$ 过圆心，与圆交于 $2$ 点；
• $l_2$ 到圆心的距离为 $2<\sqrt{5}$，与圆交于 $2$ 点。 故 $k=2+2=4$。 故答案为 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系（等距点个数）

核心方法：到 $l$：$x\cos \theta +y\sin \theta =1$ 距离为 $1$ 的点在平行线 $x\cos \theta +y\sin \theta =0$ 与 $=2$ 上；$d(O,\cdot )$ 分别为 $0$ 和 $2$，都小于 $r=\sqrt{5}$ → 各交 $2$ 点 → $k=4$

避坑指南：圆 $x^2+y^2=5$ 的半径 $r=\sqrt{5}\approx 2.24$，而 $2<r$——第二条平行线与圆相交（不是相离），这一步漏判就会只数 $2$ 个点；与圆心距离 $d<r$ 的直线交圆两点，$d=r$ 相切一点，$d>r$ 无交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的位置关系（平行线截点计数，湖北卷填空题）。

结论推广：等距点轨迹 = 两条平行线；$d$ 与 $r$ 比较定交点数。

方法推广：平移直线得两条等距线 → 分别与圆比较位置关系 → 合计交点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-13 填-圆最短弦
• 2013-浙江卷文-13 填-圆的弦长
• 2014-四川卷文-09 单-动直线定点圆