2014-四川卷理-03 单-正弦函数图象的平移变换

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换。重点在于理解“平移量是针对变量 $x$ 而言的”，即平移前必须先提取 $x$ 的系数。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 为了得到函数 $y=\sin (2x+1)$ 的图象，只需把函数 $y=\sin 2x$ 的图象上所有的点 ()

A. 向左平行移动 $\frac{1}{2}$ 个单位长度　B. 向右平行移动 $\frac{1}{2}$ 个单位长度

C. 向左平行移动 1 个单位长度　　D. 向右平行移动 1 个单位长度

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公式对照：对比 $y=\sin 2x$ 与 $y=\sin (2x+1)$。
2. 变形处理：将目标函数变形为 $y=\sin [2(x+\Delta )]$ 的形式，其中 $\Delta$ 即为平移量。
3. 平移规则：若 $\Delta >0$，向左平移；若 $\Delta <0$，向右平移。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：提取系数 目标函数 $y=\sin (2x+1)$ 可以变形为： $y=\sin [2(x+\frac{1}{2})]$

第二步：判定变换路径 由于是将 $y=\sin 2x$ 变为 $y=\sin [2(x+\frac{1}{2})]$，相当于用 $x+\frac{1}{2}$ 代替了原式中的 $x$。 根据“左加右减”原则，加 $\frac{1}{2}$ 代表向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数 $y=f(\omega x)$ 到 $y=f(\omega x+\phi )$ 的变换。 2. 核心技巧：先提取，后观察。平移量永远是相对于单变量 $x$ 的改变量，即 $\Delta x=\frac{\phi }{\omega }$。

2. 核心方法：提取 $x$ 的系数，将平移转化为 $x$ 的改变量

3. 避坑指南：很多学生会误选 C，认为平移量是 $1$。这是典型的未提取系数 $\omega$ 导致的错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 图象的伸缩变换。若从 $\sin x$ 变到 $\sin 2x$，则是横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$。

2. 结论推广: 平移量恒为 $\frac{\phi }{\omega }$。

3. 方法推广: 处理 $y=f(\omega x+\phi )$ 的平移时先提系数再平移

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-05 单-函数的图象变换
• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象
• 2015-新课标II卷文-11 单-函数图象