2013-北京卷理-05 单-函数的图象变换

本题导读

本题考查函数的图象与性质，以及函数的图象变换。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $1$ 个单位长度，所得图象与曲线 $y={\text{e}}^x$ 关于 $y$ 轴对称，则 $f(x)=$()

A. ${\text{e}}^{x+1}$　　　　　B. ${\text{e}}^{x-1}$　　　　　C. ${\text{e}}^{-x+1}$　　　　　D. ${\text{e}}^{-x-1}$

🔍【思路分析】

破题导航

本题有两种解题思路，推荐使用逆推法：

1. 正向法：
   • 第一步：将 $f(x)$ 向右平移 $1$ 个单位，得到 $y=f(x-1)$。
   • 第二步：将 $y=f(x-1)$ 关于 $y$ 轴对称，得到 $y=f(-x-1)$。
   • 建立方程：由题意 $f(-x-1)={\text{e}}^x$，通过换元法求出 $f(x)$。
2. 逆推法（更直观）：
   • 第一步：找出与 $y={\text{e}}^x$ 关于 $y$ 轴对称的曲线 $L$。
   • 第二步：将曲线 $L$ 向左平移 $1$ 个单位（即“向右平移”的逆过程），还原得到 $f(x)$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求出关于 $y$ 轴对称后的曲线 已知曲线 $C_1:y={\text{e}}^x$。 与其关于 $y$ 轴对称的曲线为 $C_2$，根据对称规则（$x$ 替换为 $-x$）： $C_2:y={\text{e}}^{-x}$

第二步：逆向平移还原 $f(x)$ 题目说明 $f(x)$ 的图象向右平移 $1$ 个单位得到 $C_2$。 那么，将 $C_2$ 的图象向左平移 $1$ 个单位即可还原为 $f(x)$。 根据平移规则（左加右减，针对变量 $x$）： $f(x)={\text{e}}^{-(x+1)}$

第三步：化简解析式 $f(x)={\text{e}}^{-x-1}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：- 平移变换：$y=f(x\pm a)$。记住“左加右减”。 - 对称变换：关于 $y$ 轴对称 $⟹y=f(-x)$；关于 $x$ 轴对称 $⟹y=-f(x)$。

核心方法：“变换顺序不可乱”。平移和对称的先后顺序不同，所得结果往往不同。在本题的正向法中，平移后对称，$-1$ 也会被“带入” $-x$ 的运算，这是最容易出错的地方。

避坑指南：在做向左平移 $1$ 个单位的操作时，是用 $(x+1)$ 整体替换解析式中的 $x$，而不是简单地在末尾加 $1$。即 ${\text{e}}^{-x}\stackrel{\text{左移}1}{\to }{\text{e}}^{-(x+1)}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数的性质、函数奇偶性的几何意义。

结论推广：若 $f(x)$ 经变换 $T$ 得到 $g(x)$，则 $f(x)$ 等于 $g(x)$ 经逆变换 $T^{-1}$ 的结果。

方法推广：涉及函数解析式求法，除了变换法，还可以利用特定点的对应关系（如取 $x=0,1$）排除选项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象
• 2015-新课标II卷文-11 单-函数图象
• 2014-福建卷文-08 单-函数图象