2014-四川卷理-04 单-不等式的比较与证明

本题导读

本题考查不等式的基本性质。重点在于处理负数在不等式中的倒数变换以及同向不等式的乘法运算，要求学生逻辑严密。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 若 $a>b>0$，$c<d<0$，则一定有 ()

A. $\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$　　　B. $\frac{a}{c}<\frac{b}{d}$　　　C. $\frac{a}{d}>\frac{b}{c}$　　　D. $\frac{a}{d}<\frac{b}{c}$

🔍【思路分析】

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1. 转换符号：将已知的不等式转化为全部为正数的形式，以便利用同向不等式相乘的性质。
2. 处理倒数：根据 $c<d<0$ 推导出 $-\frac{1}{d}$ 与 $-\frac{1}{c}$ 的大小关系。
3. 利用性质：利用“两个正项同向不等式相乘，不等号方向不变”的结论进行推导。
4. 验证结论：通过特值法快速检验选项的正确性。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用倒数性质变换 已知 $c<d<0$，则： $-c>-d>0$ 根据正数倒数不等号反向的性质： $0<-\frac{1}{c}<-\frac{1}{d}$ 即： $-\frac{1}{d}>-\frac{1}{c}>0$

第二步：利用同向不等式乘法性质 已知 $a>b>0$，且由上步知 $-\frac{1}{d}>-\frac{1}{c}>0$. 由同向不等式乘法性质得： $a\cdot \left(-\frac{1}{d}\right)>b\cdot \left(-\frac{1}{c}\right)$ 即： $-\frac{a}{d}>-\frac{b}{c}$

第三步：整理得出结果 两边同时乘以 $-1$，不等号方向改变： $\frac{a}{d}<\frac{b}{c}$

第四步：特值法验证（快速参考） 令 $a=2,b=1,c=-2,d=-1$. $\frac{a}{d}=\frac{2}{-1}=-2$，$\frac{b}{c}=\frac{1}{-2}=-0.5$. 因为 $-2<-0.5$，符合 D 选项。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式的性质。注意“同向不等式可加、正项同向不等式可乘”。

2. 核心方法：将负数不等式转化为正数进行处理是避免出错的最佳路径。

3. 避坑指南：容易直接用 $a/c$ 与 $b/d$ 比较，忽略了分母为负数时，较大的数做分母反而使得分式值“较大”（绝对值较小）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分式不等式的性质、绝对值不等式的性质。

2. 结论推广: 正项同向不等式可相乘，负数化正再处理倒数。

3. 方法推广: 面对选择题中的不等式判定，特值法通常是最快捷的解法，但要注意特值必须满足所有已知前提条件。

🔗【关联脉络】

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