2014-大纲卷文-15 填-线性规划

本题导读

可行域顶点 $(1,1)$、$(-1,-1)$、$(2,\frac{1}{2})$，$z=x+4y$ 最大值 5（在 $(1,1)$）。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 设 $x$、$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0,\\ x+2y\le 3,\\ x-2y\le 1,\end{array}$ 则 $z=x+4y$ 的最大值为$\underline{}$.

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可行域顶点 $(1,1)$、$(-1,-1)$、$(2,\frac{1}{2})$，$z=x+4y$ 最大值 5（在 $(1,1)$）。

✅【答案】

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5

✍【详细解析】

Abstract

三条边界：$x-y=0$、$x+2y=3$、$x-2y=1$。

两两求交点：$x-y=0$ 与 $x+2y=3$ 交于 $(1,1)$；$x-y=0$ 与 $x-2y=1$ 交于 $(-1,-1)$；$x+2y=3$ 与 $x-2y=1$ 交于 $(2,\frac{1}{2})$。

可行域是以这三点为顶点的三角形（含边界）。

代入 $z=x+4y$：$(1,1)$ 得 5；$(-1,-1)$ 得 $-5$；$(2,\frac{1}{2})$ 得 4。

最大值为 5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划；目标函数在顶点处取最值

2. 核心方法：联立边界求顶点 → 代入比较

3. 避坑指南：三个不等号方向各不相同（$\ge 0$ 取上方、两个 $\le$ 取下方），可行域是三角形而非无界区域；$z$ 的最大值在 $(1,1)$ 而不是 $x$ 最大的 $(2,\frac{1}{2})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划基础题（doc 考点定位：线性规划），与 2014 年新课标Ⅰ理第 9 题（含参线性规划）、新课标Ⅱ文第 9 题同族。

2. 结论推广: 一般地，线性目标函数 $z=Ax+By$（$B>0$）沿 $y$ 增大方向变优，最值在可行域顶点取得。

3. 方法推广: 线性规划标准流程：画边界 → 定区域 → 求顶点 → 代入比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-09 单-线性规划
• 2015-新课标I卷文-15 填-线性规划