2014-新课标II卷文-09 单-线性规划

本题导读

可行域顶点 $(1,0)$、$(0,1)$、$(3,2)$，$z=x+2y$ 在 $(3,2)$ 取最大值 7，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 设 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-1\ge 0,\\ x-y-1\le 0,\\ x-3y+3\ge 0,\end{array}$ 则 $z=x+2y$ 的最大值为()

A. 8　　　　　　　B. 7　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 1

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可行域顶点 $(1,0)$、$(0,1)$、$(3,2)$，$z=x+2y$ 在 $(3,2)$ 取最大值 7，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线：$x+y=1$、$x-y=1$、$x-3y+3=0$。

两两求交点：$x+y=1$ 与 $x-y=1$ 交于 $(1,0)$；$x+y=1$ 与 $x-3y+3=0$ 交于 $(0,1)$；$x-y=1$ 与 $x-3y+3=0$ 交于 $(3,2)$。

可行域是以 $(1,0)$、$(0,1)$、$(3,2)$ 为顶点的三角形区域（含边界）。

将 $z=x+2y$ 分别代入顶点：$(1,0)$ 得 1；$(0,1)$ 得 2；$(3,2)$ 得 $3+4=7$。

所以 $z$ 的最大值为 7，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域；线性目标函数最值

2. 核心方法：画可行域 → 顶点代入比较（终点步进法）

3. 避坑指南：三个约束的方向别画反：$x+y-1\ge 0$ 取直线上方、$x-y-1\le 0$ 取直线上方、$x-3y+3\ge 0$ 取直线下方，可行域是三条线围成的三角形，不是无界区域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划基础题（doc 考点定位：线性规划），与 2014 年新课标Ⅰ文第 11 题（含参）同卷同考点。

2. 结论推广: 一般地，线性目标函数在凸多边形可行域上的最值必在顶点处取得；顶点由边界两两联立求出。

3. 方法推广: 线性规划标准流程：画边界线 → 定可行域 → 求顶点 → 代入目标比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-11 单-线性规划
• 2015-新课标I卷文-15 填-线性规划