2015-新课标I卷文-15 填-线性规划

本题导读

三条不等式围成三角形可行域，目标函数 $z=3x+y$ 在顶点处取最值：逐顶点代入比较即可。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩽0,\\ x-2y+1⩽0,\\ 2x-y+2⩾0,\end{array}$ 则 $z=3x+y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 三直线 $x+y=2$、$x-2y=-1$、$y=2x+2$ 两两相交，可行域为三角形。
2. 顶点：$(1,1)$、$(0,2)$、$(-1,0)$。
3. 逐顶点代入 $z=3x+y$ 比较。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线：$l_1:x+y=2$，$l_2:x-2y+1=0$，$l_3:2x-y+2=0$.

两两求交点：$l_1\cap l_2=(1,1)$；$l_1\cap l_3=(0,2)$；$l_2\cap l_3=(-1,0)$.

由不等号方向可画出可行域为以上三点围成的三角形（含边界）.

线性目标 $z=3x+y$ 在顶点处取得最值：

$z(1,1)=4,z(0,2)=2,z(-1,0)=-3.$

故 $z$ 的最大值为 $4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组与平面区域；线性规划的目标函数最值。

2. 核心方法：“画域 → 找顶点 → 代入比较”，直线型目标函数最优解必在顶点处。

3. 避坑指南：① 每条不等式的开闭方向要靠原点试代检验，可行域画错全盘皆输；② 最大值在 $(1,1)$，若把目标写成 $3x-y$ 结论就变了——看清目标函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：线性规划是全国卷小题的常客（2015 全国Ⅰ理 15 为分式目标函数的线性规划），难度中档、方法固定。

2. 结论推广: 若目标改为 $z=\frac{y}{x}$，则最优值在”原点连线的斜率”处取得，须比较边界直线与顶点连线斜率。

3. 方法推广: 线性规划三板斧：确定可行域顶点 → 线性目标在顶点取最值 → 需要整数解时对最优点邻域逐一检验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-15 填-线性规划
• 2016-全国卷I文-16