2014-大纲卷文-17 解-递推数列通项

本题导读

$b_{n+1}=b_n+2$，$b_1=1$，故 $b_n=2n-1$；累加得 $a_n=1+(n-1{)}^2=n^2-2n+2$。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2$.

(1) 设 $b_n=a_{n+1}-a_n$，证明 $\{b_n\}$ 是等差数列;

(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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$b_{n+1}=b_n+2$，$b_1=1$，故 $b_n=2n-1$；累加得 $a_n=1+(n-1{)}^2=n^2-2n+2$。

✅【答案】

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(1) 见解析 (2) $a_n=n^2-2n+2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2$，两边减 $a_{n+1}$：

$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+2$，即 $b_{n+1}=b_n+2$。

又 $b_1=a_2-a_1=1$，所以 $\{b_n\}$ 是首项为 1、公差为 2 的等差数列。

(2) 由 (1)，$b_n=1+2(n-1)=2n-1$，即 $a_{n+1}-a_n=2n-1$。

累加：$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(2k-1)=1+(n-1{)}^2=n^2-2n+2$。

检验：$a_1=1-2+2=1$ ✓，$a_2=4-4+2=2$ ✓。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：递推数列；等差数列的定义与通项；累加法

2. 核心方法：按定义作差构造新数列；等差数列求和公式 $\sum (2k-1)=(n-1{)}^2$

3. 避坑指南：①证明等差数列要落实”从 $b_{n+1}-b_n$ 是常数”与”首项”两件事；②累加求和的范围是 $k$ 从 1 到 $n-1$，共 $n-1$ 项，最后要用 $a_1$ 检验首项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 递推数列常规解答题（doc 考点定位：数列），与 2014 年新课标Ⅰ理第 17 题（递推数列）同族。

2. 结论推广: 一般地，$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n+c$ 型递推，作差 $a_{n+2}-a_{n+1}$ 常能得到结构更简单的新数列。

3. 方法推广: 递推数列第一反应”作差（或作比）构造新数列”，证完性质再用累加（或累乘）回推通项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-07 单-等差数列
• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关