2014-大纲卷理-12 单-反函数定义与性质

本题导读

本题考查函数图象的对称变换以及反函数的几何意义。通过点在不同函数图象间的对称变换关系，推导出反函数的解析式。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x+y=0$ 对称，则 $y=f(x)$ 的反函数是()

A. $y=g(x)$　　　B. $y=g(-x)$　　　C. $y=-g(x)$　　　D. $y=-g(-x)$

🔍【思路分析】

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1. 理解已知对称性：点 $(a,b)$ 关于直线 $x+y=0$（即 $y=-x$）的对称点为 $(-b,-a)$。若点 $(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 图象上，则 $(-b,-a)$ 必然在 $y=g(x)$ 图象上。
2. 利用反函数性质：函数 $y=f(x)$ 的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象与 $y=f(x)$ 关于直线 $y=x$ 对称。若 $(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 上，则 $(b,a)$ 在其反函数图象上。
3. 寻找逻辑链条：设 $P(x,y)$ 是 $y=f(x)$ 反函数图象上的任一点，通过两次对称变换（先关于 $y=x$ 对称回到 $f(x)$，再关于 $x+y=0$ 对称去往 $g(x)$），建立 $x,y$ 与 $g(x)$ 的关系。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设点与变换 设 $P(x,y)$ 为 $y=f(x)$ 的反函数图象上的任意一点。 根据反函数图象关于 $y=x$ 对称的性质，点 $P^{\prime }(y,x)$ 必在 $y=f(x)$ 的图象上。

第二步：利用关于 $x+y=0$ 的对称性 已知 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x+y=0$ 对称。 点 $P^{\prime }(y,x)$ 关于直线 $x+y=0$ 的对称点坐标为 $P^{\prime \prime }(-x,-y)$。 按照题目条件，点 $P^{\prime \prime }(-x,-y)$ 必在 $y=g(x)$ 的图象上。

第三步：建立函数关系 将点 $P^{\prime \prime }(-x,-y)$ 代入 $y=g(x)$ 的解析式中，得： $-y=g(-x)$ 整理得： $y=-g(-x)$ 这就是 $y=f(x)$ 的反函数的解析式。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点 $(x,y)$ 关于 $y=-x$ 的对称点是 $(-y,-x)$；关于 $y=x$ 的对称点是 $(y,x)$。

2. 核心方法：“转移法”。设出目标图象上的动点，通过对称路径反向追溯到已知解析式的图象上，代入即可求解。

3. 避坑指南：容易记混关于 $y=x$ 和 $y=-x$ 对称的坐标变换规律。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数平移、伸缩变换与对称变换的综合。

2. 结论推广: 函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x+a$ 或 $y=-x+a$ 对称的通用处理方法。

3. 方法推广: 也可以取特殊函数验证。如设 $f(x)=2x$，其反函数为 $y=\frac{1}{2}x$。$f(x)$ 关于 $x+y=0$ 对称后得到 $g(x)=\frac{1}{2}x$（经计算得出），验证选项 D 满足要求。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-08 单-函数性质
• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2025-北京卷-15 填-函数性质