2014-天津卷文-04 单-指对数比较

本题导读

以 $0$ 和 $1$ 为分界，先定出 $a$、$b$、$c$ 各自所在的区间。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 设 $a={\log }_2\pi$，$b={\log }_{\frac{1}{2}}\pi$，$c={\pi }^{-2}$，则()

A. $a>b>c$　　　　　B. $b>a>c$　　　　　C. $a>c>b$　　　　　D. $c>b>a$

🔍【思路分析】

破题导航

$\pi \in (1,2)$ 是关键：由它在 $(1,2)$ 内可同时判断三个数的大小区间。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\pi >2^1$，所以 $a={\log }_2\pi >{\log }_{2}2=1$。 因为 $\frac{1}{2}<1$，所以 $b={\log }_{\frac{1}{2}}\pi =-{\log }_2\pi <-1$。 因为 ${\pi }^{-2}=\frac{1}{{\pi }^2}$ 且 $\pi >1$，所以 $0<c={\pi }^{-2}<1$。 于是 $a>1>c>0>b$，即 $a>c>b$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数式与对数式的大小比较

2. 核心方法：与 $0$、$1$ 比较的中间量法

3. 避坑指南：$b={\log }_{\frac{1}{2}}\pi$ 的底数小于 $1$，应先化为 $-{\log }_2\pi$ 再判断；若直接按“底小则值小”的印象处理，极易把 $b$ 判大。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指数函数、对数函数的单调性。

2. 结论推广: ${\log }_2\pi >1$；${\log }_{\frac{1}{2}}\pi =-{\log }_2\pi <-1$；${\pi }^{-2}\in (0,1)$。

3. 方法推广: 比较大小固定三档：先与 $0$ 比，再与 $1$ 比，最后化为同底（或同真数）用单调性作比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-03 单-指对数比较
• 2014-陕西卷文-07 单-指数函数性质