2012-大纲卷文-11 单-指对数比大小

本题导读

本题考查指对数函数的性质，以及数的大小比较。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 已知 $x=\ln \pi$，$y={\log }_{5}2$，$z={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$，则()

A. $x<y<z$　　　　　B. $z<x<y$　　　　　C. $z<y<x$　　　　　D. $y<z<x$

🔍【思路分析】

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$x=\ln \pi >1$，$y={\log }_{5}2<\frac{1}{2}$，$z={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}>\frac{1}{2}$，故 $y<z<x$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$x=\ln \pi >\ln \mathrm{e}=1$。

$y={\log }_{5}2$：$2^2=4<5$，即 $2<\sqrt{5}$，故 ${\log }_{5}2<{\log }_5\sqrt{5}=\frac{1}{2}$。

$z={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}$：${\mathrm{e}}^2>2$ 即 $\sqrt{\mathrm{e}}<2$，故 $z>\frac{1}{2}$；又 $z<1$。

综上 $x>1>z>\frac{1}{2}>y$，即 $y<z<x$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指对数运算与估算；借助中间量比较大小

核心方法：分别与 $1$、$\frac{1}{2}$ 比较，串成大小链

避坑指南：比较 $y$ 与 $\frac{1}{2}$：等价于比较 $2$ 与 $\sqrt{5}$，平方化为 $4<5$；$z$ 与 $\frac{1}{2}$ 同理平方处理——别试图直接算出对数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对数比大小经典题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 8 题、2014 年天津卷文第 4 题、2014 年辽宁卷文第 3 题同族。

结论推广：一般地，${\log }_{a}b$ 与 $\frac{1}{2}$ 比较等价于 $b$ 与 $\sqrt{a}$ 比较；${\mathrm{e}}^t$ 与 $\frac{1}{2}$ 比较可平方去根号后用整数估算。

方法推广：比大小先分区间：大于 $1$ 的、在 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 的、小于 $\frac{1}{2}$ 的，用中间量 $1$ 和 $\frac{1}{2}$ 串链。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小

• 2014-天津卷文-04 单-指对数比较