2014-天津卷文-06 单-双曲线渐近线

本题导读

渐近线与 $l$ 平行 ⇒ $b=2a$；焦点在 $l$ 上 ⇒ $c$ 满足 $2c+10=0$。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的一条渐近线平行于直线 $l:y=2x+10$，双曲线的一个焦点在直线 $l$ 上，则双曲线的方程为()

A. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$

C. $\frac{3x^2}{25}-\frac{3y^2}{100}=1$　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{3x^2}{100}-\frac{3y^2}{25}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\frac{b}{a}=2$ 与 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ 求出 $a$、$b$ 即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。由其中一条与 $l:y=2x+10$ 平行得 $\frac{b}{a}=2$，即 $b=2a$。 焦点坐标为 $(\pm c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=\sqrt{5}a$。 直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $(-5,0)$，由“一个焦点在 $l$ 上”得 $c=5$，于是 $\sqrt{5}a=5$，$a=\sqrt{5}$，$b=2\sqrt{5}$。 所以 $a^2=5$，$b^2=20$，双曲线方程为 $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的渐近线与焦点

2. 核心方法：待定系数法求标准方程

3. 避坑指南：“渐近线平行于 $l$”给出 $\frac{b}{a}=2$，“焦点在 $l$ 上”给出 $c=5$（$y=2x+10$ 与 $x$ 轴交于 $(-5,0)$），两式联立即得 $a$、$b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线的标准方程与几何性质。

2. 结论推广: 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$；焦点 $(\pm c,0)$，$c^2=a^2+b^2$。

3. 方法推广: 求圆锥曲线方程先“翻译”几何条件：平行 $\to$ 斜率相等，焦点在直线上 $\to$ 代入坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-15 填-双曲线渐近线
• 2014-北京卷文-10 填-双曲线标准方程