2014-四川卷文-11 填-双曲线离心率

本题导读

$a^2=4$，$b^2=1$，$c=\sqrt{5}$，$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的离心率等于＿＿＿＿.

🔍【思路分析】

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分母给出 $a^2=4$、$b^2=1$，先求 $c$ 再求 $e$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由标准方程知 $a^2=4$，$b^2=1$，故 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的离心率

2. 核心方法：$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$

3. 避坑指南：$x^2$ 项系数 $\frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}$ 给出 $a=2$；勿把 $\frac{1}{4}$ 直接当成 $a^2$ 的倒数之外的形式，或误取 $b=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线的标准方程与离心率。

2. 结论推广: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中 $c^2=a^2+b^2$，$e=\frac{c}{a}$。

3. 方法推广: 由标准方程分母直接读 $a^2,b^2$，再算 $c$ 与 $e$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2014-江西卷文-09 单-双曲线方程