2012-天津卷文-11 填-双曲线渐近线与焦点

本题导读

本题考查双曲线的渐近线方程，以及双曲线的基本量关系。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 已知双曲线 $C_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）与双曲线 $C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$ 有相同的渐近线，且 $C_1$ 的右焦点为 $F(\sqrt{5},0)$，则 $a=$ $\underline{}$，$b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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渐近线相同给出 $b=2a$；又 $c=\sqrt{5}$，$a^2+b^2=5$，解得 $a=1$，$b=2$。

✅【答案】

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$a=1$；$b=2$

✍【详细解析】

Abstract

$C_2$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{4}{2}x=\pm 2x$。

$C_1$ 与 $C_2$ 渐近线相同且焦点同在 $x$ 轴上，故 $\frac{b}{a}=2$，即 $b=2a$。

右焦点 $(\sqrt{5},0)$ 给出 $c=\sqrt{5}$，即 $a^2+b^2=5$。代入 $b=2a$ 得 $5a^2=5$，$a^2=1$。

由 $a>0$ 得 $a=1$，$b=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线方程；基本量 $a$、$b$、$c$ 的关系

核心方法：由渐近线斜率定比例，由焦点定 $c$，联立解出 $a$、$b$

避坑指南：共渐近线直接用 $\frac{b}{a}=2$ 的前提是开口方向一致（本题两支焦点都在 $x$ 轴上）；双曲线是 $c^2=a^2+b^2$，别套椭圆的 $c^2=a^2-b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共渐近线双曲线定基本量，与 2014 年天津卷文第 6 题、2015 年天津卷文第 5 题同族。

结论推广：与 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 共渐近线的双曲线可设为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$（$\lambda \ne 0$）。

方法推广：双曲线定形三件套：渐近线定比例、焦点定位置、离心率定形状。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2015-天津卷文-05 单-双曲线渐近线
• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线