2014-天津卷理-13 填-极坐标互化

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及极坐标方程与圆、直线的交点。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 在以 $O$ 为极点的极坐标系中，圆 $\rho =4\sin \theta$ 和直线 $\rho \sin \theta =a$ 相交于 $A,B$ 两点. 若 $△AOB$ 是等边三角形，则 $a$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将极坐标方程化为直角坐标方程：圆 $\rho =4\sin \theta ⟹{\rho }^2=4\rho \sin \theta ⟹x^2+y^2=4y⟹x^2+(y-2{)}^2=4$。
2. 直线 $\rho \sin \theta =a⟹y=a$。
3. 利用 $△AOB$ 是等边三角形，结合圆心角或几何性质求出直线纵坐标 $y=a$ 的值。

✅【答案】

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$\pm \sqrt{3}$（或 $\sqrt{3}$）

✍【详细解析】

Abstract

圆的直角坐标方程为 $x^2+(y-2{)}^2=4$，其圆心为 $C(0,2)$，半径 $R=2$。 直线的直角坐标方程为 $y=a$（其中 $a>0$）。 因为 $△AOB$ 是等边三角形，极点 $O$ 到弦 $AB$ 的距离等于等边三角形的高。 边长为 $R=2$（因为 $O$ 在圆上，$OA=OB=R=2$ 且 $△AOB$ 为等边三角形，所以边长为 $2$）。 等边三角形的高（即原点 $O$ 到直线 $y=a$ 的距离）为 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$。 因为直线方程为 $y=a$，且 $O$ 到该直线的距离为 $a$，故 $a=\sqrt{3}$（或 $a=-\sqrt{3}$，但由图形及 $a>0$ 取 $\sqrt{3}$）。 故答案为 $\pm \sqrt{3}$（或 $\sqrt{3}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标互化、等边三角形性质。

2. 核心方法：把圆与直线化为直角坐标方程，用等边三角形高求直线纵坐标 $a$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 极坐标方程与直角坐标方程互化。

2. 结论推广: $\rho =4\sin \theta$ 化为 $x^2+(y-2{)}^2=4$。

3. 方法推广: 极坐标几何问题先化为直角坐标再处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-15 填-极坐标互化
• 2013-安徽卷理-07 单-极坐标互化
• 2013-天津卷理-11 填-极坐标互化