2014-安徽卷文-09 单-绝对值最值

本题导读

写成 $|x+1|+2|x+\frac{a}{2}|$，用三角不等式得最小值 $|1-\frac{a}{2}|$。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 若函数 $f(x)=|x+1|+|2x+a|$ 的最小值为 $3$，则实数 $a$ 的值为()

A. $5$ 或 $8$　　　B. $-1$ 或 $5$　　　C. $-1$ 或 $-4$　　　D. $-4$ 或 $8$

🔍【思路分析】

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最小值在零点处取得：令 $x=-\frac{a}{2}$ 代入得 $|1-\frac{a}{2}|$。

✅【答案】

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（D）$-4$ 或 $8$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=|x+1|+2\left|x+\frac{a}{2}\right|$。由三角不等式，$f(x)⩾|x+1|+\left|x+\frac{a}{2}\right|⩾\left|1-\frac{a}{2}\right|$，且当 $x=-\frac{a}{2}$ 时 $f(x)=\left|1-\frac{a}{2}\right|$，故 $\min f(x)=\left|1-\frac{a}{2}\right|$。由 $\left|1-\frac{a}{2}\right|=3$ 得 $|a-2|=6$，解得 $a=8$ 或 $a=-4$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值函数的最小值

2. 核心方法：三角不等式放缩 + 取等验证

3. 避坑指南：$|2x+a|$ 的系数是 $2$，须先写成 $2|x+\frac{a}{2}|$ 再放缩；最小值在两零点之间（含端点）取得，本题在 $x=-\frac{a}{2}$ 处取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 两个零点的绝对值函数 $|x-x_1|+k|x-x_2|$（$k⩾1$）在 $x_2$ 处取得最小值。

2. 结论推广: 推广：$|x-x_1|+|x-x_2|$ 的最小值是 $|x_1-x_2|$；带系数时最小值在系数大（不小于 1）的那个零点处取得。

3. 方法推广: 绝对值最值题标准动作：找零点 → 排序 → 分段或放缩 → 验证取等。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-09 单-函数最值
• 2014-浙江卷理-15 填-分段函数