2014-安徽卷文-12 填-解直角三角形

本题导读

$BA=AC=2$，$A{A}_1=\sqrt{2}$；此后每段都是”前一段 $C$ 到垂足的距离 $\times \sin 45^{\circ }$”。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中，斜边 $BC=2\sqrt{2}$，过点 $A$ 作 $BC$ 的垂线，垂足为 $A_1$；过点 $A_1$ 作 $AC$ 的垂线，垂足为 $A_2$；过点 $A_2$ 作 $A_{1}C$ 的垂线，垂足为 $A_3$；$\cdots$，依此类推，设 $BA=a_1$，$A{A}_1=a_2$，$A_1{A}_2=a_3$，$\cdots$，$A_5{A}_6=a_7$，则 $a_7=$ $\underline{}$


🔍【思路分析】

破题导航

算出 $BA=2$、$A{A}_1=\sqrt{2}$ 后，每个直角三角形 $C{A}_{k-1}{A}_k$ 在 $C$ 处都是 $45^{\circ }$，逐段乘 $\sin 45^{\circ }$。

✅【答案】

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$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

$BC=2\sqrt{2}$ 且 $△ABC$ 等腰直角，故 $BA=AC=2$。斜边上的高也是中线：$C{A}_1=B{A}_1=\sqrt{2}$，$A{A}_1=\sqrt{2}$。 在直角三角形 $C{A}_1{A}_2$ 中 $\angle A_{1}C{A}_2=45^{\circ }$，故 $C{A}_2=C{A}_1\cos 45^{\circ }=1$，$A_1{A}_2=C{A}_1\sin 45^{\circ }=1$。后续每个直角三角形 $C{A}_{k-1}{A}_k$ 在 $C$ 处的锐角均为 $45^{\circ }$，于是 $C{A}_3=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$C{A}_4=\frac{1}{2}$，$C{A}_5=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 故 $a_7=A_5{A}_6=C{A}_5\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解直角三角形与归纳递推

2. 核心方法：发现等比衰减结构

3. 避坑指南：下标对应关系：$a_k=A_{k-1}{A}_k$，$a_1=BA$ 除外；每步乘 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，连乘时别数错步数——$a_7$ 对应 $A_5{A}_6$ 而不是 $A_6{A}_7$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 几何图形中的等比数列：$a_2=\sqrt{2}$，此后 $a_k=\sqrt{2}\cdot {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{k-2}$。

2. 结论推广: 推广：顶角为 $2\alpha$ 的等腰三角形内类似的垂线递推，公比为 $\sin \alpha$。

3. 方法推广: 递推图形题：先算前 2-3 项找规律，再确定目标下标对应的项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关
• 2014-浙江卷理-11 填-程序框图