2014-安徽卷文-16 解-解三角形

本题导读

面积给 $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，开方得两个 $\cos A$，分别代入余弦定理得两组 $a$，最后验证边长条件。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对边的长分别是 $a$，$b$，$c$，且 $b=3$，$c=1$，$△ABC$ 的面积为 $\sqrt{2}$，求 $\cos A$ 与 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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$\frac{1}{2}bc\sin A=\sqrt{2}$ 直接给 $\sin A$；$\cos A=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}A}$ 有两解。

✅【答案】

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$(\cos A,a)=\left(\frac{1}{3},2\sqrt{2}\right)$ 或 $\left(-\frac{1}{3},2\sqrt{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由面积公式 $\frac{1}{2}bc\sin A=\sqrt{2}$，代入 $b=3$，$c=1$ 得 $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 因 $0<A<\pi$，$\cos A=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\pm \frac{1}{3}$。 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=10-6\cos A$：当 $\cos A=\frac{1}{3}$ 时 $a^2=8$，$a=2\sqrt{2}$；当 $\cos A=-\frac{1}{3}$ 时 $a^2=12$，$a=2\sqrt{3}$。 两组值都满足 $|b-c|=2<a<b+c=4$ 的边长条件，故 $(\cos A,a)=\left(\frac{1}{3},2\sqrt{2}\right)$ 或 $\left(-\frac{1}{3},2\sqrt{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解三角形（面积公式与余弦定理）

2. 核心方法：两解讨论 + 边长条件检验

3. 避坑指南：$\sin A$ 唯一但 $\cos A$ 有正负两解，钝角情形别丢；求出 $a$ 后要用 $|b-c|<a<b+c$ 检验，防止出现不构成三角形的解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: “面积 + 两边求第三边”的两解型解三角形，见 11.03 解的个数判定。

2. 结论推广: 推广：已知 $b,c$ 与面积 $S$，$\sin A=\frac{2S}{bc}$ 有唯一值，$A$ 可能锐可能钝，须讨论 $\cos A$ 的符号。

3. 方法推广: 两解型解三角形流程：面积定 $\sin$ → 讨论余弦 → 余弦定理 → 边长条件检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2014-北京卷理-15 解-正弦定理