2014-安徽卷文-21 解-椭圆离心率

本题导读

设 $|B{F}_1|=k$，则 $|A{F}_1|=3k$、$|AB|=4k$，全部线段用 $a,k$ 表示；(2) 余弦定理化简出 $a=3k$，再构造直角三角形求离心率。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 设 $F_1$，$F_2$ 分别是椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点，过点 $F_1$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，$|A{F}_1|=3|B{F}_1|$.

(1) 若 $|AB|=4$，$△AB{F}_2$ 的周长为 $16$，求 $|A{F}_2|$；

(2) 若 $\cos \angle A{F}_{2}B=\frac{3}{5}$，求椭圆 $E$ 的离心率.

🔍【思路分析】

破题导航

$F_1$ 在弦 $AB$ 上（焦点在椭圆内部），(1) 用定义把周长化为 $4a$ 相关式。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$|A{F}_2|=5$；(2)$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$F_1$ 在线段 $AB$ 上。设 $|B{F}_1|=x$，则 $|A{F}_1|=3x$，$|AB|=4x=4$，$x=1$。由椭圆定义 $|A{F}_2|=2a-3$，$|B{F}_2|=2a-1$。周长 $4+(2a-3)+(2a-1)=16$ 得 $a=4$，故 $|A{F}_2|=2a-3=5$。 (2) 设 $|B{F}_1|=k$，则 $|A{F}_1|=3k$，$|A{F}_2|=2a-3k$，$|B{F}_2|=2a-k$，$|AB|=4k$。在 $△AB{F}_2$ 中由余弦定理： $(4k{)}^2=(2a-3k{)}^2+(2a-k{)}^2-2(2a-3k)(2a-k)\cdot \frac{3}{5}$，化简得 $(a-3k)(a+k)=0$。因 $a,k>0$，故 $a=3k$。 此时 $|A{F}_1|=|A{F}_2|=a$，$|AB|=\frac{4a}{3}$，$|B{F}_2|=\frac{5a}{3}$，验证 $|B{F}_2{|}^2=|A{F}_2{|}^2+|AB{|}^2$，由勾股定理逆定理得 $A{F}_2\perp AB$。又 $F_1$ 在 $AB$ 上，故 $A{F}_2\perp A{F}_1$。在直角三角形 $A{F}_1{F}_2$ 中，$|A{F}_1|=|A{F}_2|=a$，$|F_1{F}_2|=2c$，$(2c{)}^2=a^2+a^2=2a^2$，故 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆定义、焦点弦与离心率

2. 核心方法：设参数 $k$ 统一表示线段 + 定义转化

3. 避坑指南：第(1)问周长是 $|AB|+|A{F}_2|+|B{F}_2|$，用定义后恰好是 $4a$；第(2)问余弦定理化简后须因式分解定 $a=3k$，发现 $|B{F}_2{|}^2=|A{F}_2{|}^2+|AB{|}^2$ 这一直角结构是关键，硬解 $\cos$ 会绕远。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 焦点弦 + 焦点三角形 + 离心率的组合题，见 18.06 离心率专题、18.07 焦点三角形专题。

2. 结论推广: 推广：过焦点的弦被焦点分成 $m:n$ 两段时，配合角度条件可解出 $e$；“余弦定理 + 定义”是焦点三角形求 $e$ 的通用路径。

3. 方法推广: 焦点弦问题先设比例参数；求离心率优先方向：定义转化 → 三角形中的边角关系 → 解出 $c/a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2014-大纲卷理-06 单-椭圆定义与性质